Endomorphisme !

[invite7ca061ba]

Bonjour,

Je bloque sur un exercice d'algèbre... Merci à tous ceux qui pourront m'aider

Soit f l'application allant de R[X] dans R[X] qui à tout P(X) associe :
(X²-1)P''(X) + (2X+1)P'(X)
Soit f_n la restriction de f à R_n[X] (on a montré préalablement que f_n est un endomorphisme de R_n[X])
D'après les questions précédentes je connais la matrice de f_n dans la base canonique (qui est triangulaire supérieure), les valeurs propres et la dimension des sous espaces propres associés. Et je sais que f_n est diagonalisable.

On me demande de montrer l'existence d'une unique base de R_n[X] constituée de vecteurs propres (P_o, P₁, ... , P_n) telle que pour tout entier naturel k compris entre O et n P_k soit un polynôme de degré k et de coefficient dominant 1. On doit ainsi en déduire les valeurs propres de f !

Je n'arrive pas à répondre à cette question.
J'ai commencé par considérer une famille (P_o,...,P_n) d'éléments de R_n[X] telle que pour tout entier naturel k compris entre O et n P_k soit un polynôme de degré k et de coefficient dominant 1.

On montre facilement que c'est une base de R_n[X], on montre ensuite que chaque P_k est valeur propre de f_n (en utilisant la propriété P_k est valleur propre si de f_n si et seulement si ker(f_n - P_k Id) est différent de l'ensemble nul)
Je pensais que cela suffisait pour montrer l'existence...
Pour montrer l'unicité je pensais utiliser la dimension des sous espaces propres qui est 1.

Mais bon apres en avoir parler avec mon prof la structure logique ne tient pas debout... Je ne comprends pas trop pourquoi (bien que je parte de ce qu'on me demande, je montre l'existence puis hypothétiquement l'unicité ?)...
Si quelqun pouvait m'indiquer la démarche à suivre pour raisonner ce probleme ça me ferait avancer. J'ai également essayé de partir du fait que f_n soit diagonalisable et donc qu'il existe au moins une base de vecteurs propres telle que la matrice de l'endomorphisme dans cette base soit diagonale mais sans succès... Et de succroit je ne vois pas comment en généralisé le résultat à f.

Merci beaucoup
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[invite986312212]

On montre facilement que c'est une base de R_n[X], on montre ensuite que chaque P_k est valeur propre de f_n (en utilisant la propriété P_k est valleur propre si de f_n si et seulement si ker(f_n - P_k Id) est différent de l'ensemble nul)

euh... est-ce que tu ne confonds pas vecteur propre et valeur propre?

[invite7ca061ba]

Heu non la propriété est bien pour un endomorphisme f d'un espace vectoriel E :
L appatenant à K est valeur propre si et seulement si ker(f-L.Ide) différent de l'ensemble nul...

[invite986312212]

oui mais tu cherches des polynômes qui soient vecteurs propres. R[X] est un R-espace vectoriel, les valeurs propres d'un endomorphisme vont être des réels, pas des polynômes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ca061ba]

Oui désolé je m'étais même pas rendu compte de l'énormité de ce que j'avais écris.
Ca montre encore plus a quel point mon raisonnement ne fonctionne pas...

[invite7ca061ba]

Personne n'a de piste ? Ca fait un p'tit moment que j'suis bloqué sur cette hisoire

Merci

[invitea0b22930]

D'après les questions précédentes je connais la matrice de fn dans la base canonique (qui est triangulaire supérieure), les valeurs propres et la dimension des sous espaces propres associés. Et je sais que fn est diagonalisable.

Bon ...
Alors par transitivité fn est bien la restriction de fn+1 à P^n et tout vecteur propre de fn est un vecteur propre de fn+1. fn+1 étant diagonalisable P^n+1 possède une base formée de vecteurs propres, mais il est impossible que tous ces vecteurs propres soient de dimension <=n, donc au moins un vecteur propre de fn+1 est de degré n+1 disons q. Cela dit prenons une base formée de vecteur propres de fn, disons p0,p1,...,pn qui sont autant de vecteurs propres de fn+1 donc, le vecteur q à cause de son degré ne peut être combinaison linéaire de ceux-là. Cela veut dire que
(p0,p1,...,pn,q) est une base de Pn+1 formée de vecteurs propres de fn+1.
Pour finir il suffit de faire une récurrence sur n utilisant l'argument ci-dessus et de remarquer que si p est une vecteur propre de f kp l'est aussi pour toute constante k.

[invite7ca061ba]

Ok merci beaucoup. J'vais suivre ta démarche et je devrais m'en sortir.
Merci.