Endomorphisme qui commute

[invitec2cd3555]

Bonjour, j'ai un problème en algèbre : je travaille actuellement sur un sujet des mines (mines PC 2001 Maths-1 ==> http://www.sujets-de-concours.net/su.../pc/maths1.pdf ), et il y a une question qui me résiste dès le début du sujet :

Il a tout d'abord un préliminaire sur les noyaux itérés d'un endomorphisme

soit D_n l’endomorphisme de l’espace vectoriel
E_n = R_n[X] qui, au polynôme Q, fait correspondre le polynôme dérivé Q´

Soit un réel donné.
a. Étant donné un entier naturel n, soit p un entier naturel inférieur ou égal à l’entier n.
Démontrer que, s’il existe un endomorphisme g de l’espace vectoriel
E_n = R_n[X], tel que

g² = Id_En + Dn,
l’endomorphisme g commute avec Dn :
g o Dn = Dn o g.


Merci d'avance pour vos conseils.
-----

[invite4ef352d8]

Salut !

Ca viens du fait que Dn est nilpotent..

la fonction sqrt(lambda+x) est dévelopable en série entière :
sqrt(lambda+x)=somme des ak.x^k

pose g=somme des ak.(Dn)^k qui est une somme fini car Dn est nilpotent.

g comute avec Dn car c'est un polynome en Dn et g²=lambda.In+Dn car quand on calcule (somme des ak.x^k)² on trouve lambda+x

[invite3240c37d]

Je ne suis pas Ksilver Any way .. De toute façon la commutativité est triviale :


Do you follow me ? ..

[invitec2cd3555]

Merci à vous deux.
J'aimerais aussi savoir quelles sont les principales propriétés que l'on peut déduire du fait que deux endomorphismes commutent ?

[A voir en vidéo sur Futura]