exo de géométrie affine

[invitee75a2d43]

Bonjour, je suis tout neuf en géométrie affine et j´ai un exo auquel j´ai répondu à quelques questions mais le reste j´avance pas. J´expose d´abord l´énoncé.

Soit E un plan affine sur Z/3Z. Combien y at-il de points? de droites? Combien chaque droite contient-elle de points? Montrer que par chque point, il pass quatre droites et que pour une direction donnée, il existe trois droites parallèles à cette direction.

Bon j´ai pose K = Z/3Z = {0,1,2} et la direction V du plan affine E étant un plan vectoriel sur K, je peux l´assimiler à K² = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)}
Pour trouver le nombre de points de E, je reviens à la définition d´un plan affine E de direction V. C´est la donnée d´une action sur E du groupe additive G = V sous-jacent à l´espace vectoriel V, cette action est transitive et libre, ce qui a pour conséquence que E n´a qu´une orbite, E lui-même (transitive) et que chaque élément x de E a un stabilisateur réduit à {(0,0)}. Par la formule des classes j´obtient:

Card(E) = Card(V) = 9.
Le plan affine E possède donc 9 points que j´appelle A₁ à A₉.

Pour le reste des questions, je n´y suis pas allé dans le même ordre que dans l´énoncé. Puisqu´on parle de droites, j´ai cherché le nombre et la nature des droites vectorielles de V, j´en ai trouvé 4:

D1 = {(0,0), (0,1), (0,2)}
D2 = {(0,0), (1,0), (2,0)}
D3 = {(0,0), (1,1), (2,2)}
D4 = {(0,0), (1,2), (2,1)}

Comme chaque droite vectorielle possède 3 éléments, on peut alors facilement répondre à la question du nombre de points de chaque droite affine: c´est 3. De même, comme il existe 4 directions possibles pour les droites affines, chaque point passe par 4 droites affines.

Par contre comment trouver le nombre de droites affines et répondre à la toute dernière question? J´ai l´impression que ce n´est plus qu´une question de combinatoire, mais je n´avance pas. D´autre part j´aimerais savoir si mon raisonnement concernant le nombre de points est rigoureux ou s´il est trop compliqué.

Merci d´avance de vos suggestions.

Christophe
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[invite986312212]

n'est-ce pas une bête question de dénombrement?
il y a 9 points, par chaque point passent 4 droites, soit 9x4
mais chaque droite passe par trois points, donc a été comptée
3 fois dans le produit 9x4, soit au final 9x4/3=12.

[invitee75a2d43]

Euh... oui c´est ca, c´était tout bête. Désolé d´avoir posé une question aussi trivial, faire des maths à 4:00 heures du mat, ca me réussi pas...
merci

Christophe