Problème d'etude de fonction paramétrée [L2]

invite47668fe6 · 09/10/2009, 18h39

Bonsoir,

Etudiant en L2, j'ai un exercice à faire ce week end, et je bloque sur la première question.

Enoncé :

Soit $\text{[math]}$ la courbe d'équation cartésienne :

$\text{[math]}$

1) Soit $\text{[math]}$ la droite d'équation $\text{[math]}$ ; discuter, en fonction de t, le nombre de points d'intersection de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , et la position de ces points par rapport à l'origine.

2) Déterminer les points d'intersection de $\text{[math]}$ avec la droite d'équation $\text{[math]}$ ainsi que les tangentes à $\text{[math]}$ en ces points.

3) Tracer la courbe $\text{[math]}$ .

Voici ce que j'ai commencé à faire pour la 1):

J'ai intégré $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ et je trouve :

$\text{[math]}$

On voit bien que pour $\text{[math]}$ ça fonctionne.
Et que pour $\text{[math]}$ aussi.
Même chose pour $\text{[math]}$

Cas de $\text{[math]}$ différent de $\text{[math]}$ :

on peut se ramener à l'équation $\text{[math]}$ , en simplifiant par $\text{[math]}$ puis en réunissant les puissances de $\text{[math]}$ .

Le discriminant vaut : $\text{[math]}$ .
Pour que des solutions existent, on veut:
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
Et là je ne sais plus comment faire...

invite47668fe6 · 10/10/2009, 09h59

Ah zut je m'étais trompé dans mes calculs...

L'équation à laquelle je peux me ramener est en fait

$\text{[math]}$

Et le discriminant vaut donc $\text{[math]}$
Mais je ne sais toujours pas résoudre ceci.

Pourriez vous m'aider s'il vous plait?

invite47668fe6 · 10/10/2009, 12h10

Personne ne peut m'aider?

invitea83062ce · 10/10/2009, 12h19

cette équation est toujours négative pour t>0 et toujours positive si t<0 non ?

Edit : un petit graph pour t'en convaincre (la fonction est strictement décroissante sur R)

je parle bien sur de -4*t-4*t^5-4*t^4

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite47668fe6 · 10/10/2009, 12h24

Oui et je trouve:

$\text{[math]}$

et

$\text{[math]}$

Seulement je ne sais pas me dépatouiller de ça. C'est pour ça que j'ai l'impression de ne pas être dans la bonne voie.

invite47668fe6 · 10/10/2009, 17h45

N'y a t il rien à faire? lol

invite47668fe6 · 10/10/2009, 17h47

Envoyé par Mrpollux

Oui et je trouve:

$\text{[math]}$

et

$\text{[math]}$

Seulement je ne sais pas me dépatouiller de ça. C'est pour ça que j'ai l'impression de ne pas être dans la bonne voie.

remplacer les $\text{[math]}$ par des $\text{[math]}$ ici, désolé

invite47668fe6 · 10/10/2009, 21h01

Je vous en prie aidez moi je galère vraiment...

invite57a1e779 · 10/10/2009, 21h15

Bonsoir Mrpollux,

Tu as trouvé, pour $\text{[math]}$ deux valeurs possibles de $\text{[math]}$ , tu ne dois pas oublier que $\text{[math]}$ . Tu en déduis que ta courbe est la réunion des supports des deux arcs paramétrés
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

invite47668fe6 · 10/10/2009, 21h50

Bonsoir et merci de ta réponse.

Ok je pensais que j'avais pas fini mais en fait si, donc si je réuni les informations j'ai:

pour $\text{[math]}$ ca fonctionne toujours.
pour $\text{[math]}$ pour delta nul (i.e. $\text{[math]}$ )

pour $\text{[math]}$
pour $\text{[math]}$
Lorsque delta positif.

Comment sais tu que ce sont des "arcs paramétrés"?

La position de ces points par rapport a l'origine est donc:

$\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$

Pour la question 2) me suffit il de dire que:

après calcul on doit avoir: $\text{[math]}$
donc les couples de solutions sont:
(x5,y5)=(-1,0)
(x6,y6)=(-1,1)

Après, comment calculer les tangentes en ces points?

P.S.: comment fais tu les racines, les divisions et les accolades avec ce visuel?

invite47668fe6 · 10/10/2009, 21h53

pour $\text{[math]}$ , comme $\text{[math]}$ , on peut se ramener à:

$\text{[math]}$

invite57a1e779 · 10/10/2009, 22h04

Envoyé par Mrpollux

Soit $\text{[math]}$ la courbe d'équation cartésienne :

$\text{[math]}$

1) Soit $\text{[math]}$ la droite d'équation $\text{[math]}$ ; discuter, en fonction de t, le nombre de points d'intersection de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , et la position de ces points par rapport à l'origine.

Il faut que tu regroupes les résultats en fonction des valeurs de $\text{[math]}$ :
Si $\text{[math]}$ , il y a ... points d'intersection de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ , il y a ... points d'intersection de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Si $\text{[math]}$ , il y a ... points d'intersection de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Je pense que par position de ces points par rapport à l'origine, on veut savoir s'ils sont d'un même côté de l'origine, ou s'ils sont de part et d'autre de l'origine

Envoyé par Mrpollux

2) Déterminer les points d'intersection de $\text{[math]}$ avec la droite d'équation $\text{[math]}$ ainsi que les tangentes à $\text{[math]}$ en ces points.

On peut déterminer une équation de la tangente à l'aide du gradient de $\text{[math]}$ . Sinon tu peux utiliser les paramétrages de $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ .

invite47668fe6 · 10/10/2009, 22h23

D'accord,

quelque chose comme:

le vecteur tangent aux points xi sera proportionnel au vecteur:

$\text{[math]}$ les dérivées partielles de f en fonction de x (première coordonnée) puis de y (deuxième coordonnée) aux points $\text{[math]}$
Avec f la fonction qui donne la courbe $\text{[math]}$

Si c'est le cas je pense que j'ai fini l'exercice à un point près, je ne sais pas du tout comment tracer ce genre de courbe...

invite57a1e779 · 10/10/2009, 22h29

Envoyé par Mrpollux

le vecteur tangent aux points xi sera proportionnel au vecteur:

$\text{[math]}$

Le vecteur tangent est plutôt orthogonal au gradient...

Pour tracer la courbe, utilise les expressions de x et de y en fonction de t ; elles ne sont pas très agréables à manipuler, mais elles permettent d'obtenir le tracé.

invite47668fe6 · 10/10/2009, 22h35

Pourtant, les tangentes ont toujours été exprimées en fonction des dérivées de la fonction...
Pourquoi dans ce cas c'est orthogonal?

invite57a1e779 · 10/10/2009, 22h51

Envoyé par Mrpollux

Pourtant, les tangentes ont toujours été exprimées en fonction des dérivées de la fonction...
Pourquoi dans ce cas c'est orthogonal?

Attention, lorsque les valeurs de la fonction fournissent les coordonnées des points de la courbe, alors oui, le vecteur tangent s'exprime avec les dérivées.

Ici, les coordonnées des points de la courbe sont les variables de la fonction qui intervient dans l'équation, ce n'est pas la même chose. On cherche la ligne de niveau nul de la fonction f, et cette ligne de niveau est orthogonale au gradient qui indique la direction dans laquelle f varie le plus rapidement.

invite47668fe6 · 10/10/2009, 23h21

Je crois que j'ai compris, merci.

Sais tu ou je pourrais en trouver une démonstration?

invite47668fe6 · 11/10/2009, 00h04

C'est bon, j'ai trouvé la démonstration mathématique qui m'a convaincue de cette orthogonalité.

Si cela intéresse quelqu'un : http://pagesperso-orange.fr/rmcks/ph...s_gradient.pdf

Merci beaucoup pour ton aide "souffle de dieu".

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