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Bonjour ,
j'ai besoin d'aide pour un DM je suis un peu bloquée, on me demande
Soit (X,d) un espace métrique et soit A inclus dans X, montrer que l application qui à x appartient à X associe :
d(x,A) = inf d(x,y) avec y qui apppartient à A
est 1-lipschitzienne,
je voudrai montrer que quelque soit x et y d_f (f(x),f(y)) est inferieur ou égal à dE(x'y) je ne vois pas comment , merci pour votre aide.
Salut,
Utilise l'inégalité triangulaire!
Bonsoir,
Introduis via l'inégalité triangulaire un point de A
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merci beaucoup je n'étais pas sûre du tout
D'autre part on me demande de montrer que A =A barre je veux montrer que A est un fermé avec une suite (xn) d ' éléments de A qui tend vers x mais je ne sais pas comment le prouver
Il faudrait nous préciser les hypothèses faites sur A pour espérer prouver un tel résultat.Envoyé par aureliaMASS
Soit (X,d) un espace métrique et soit A inclus dans X, montrer que l application qui à x appartient à X associe :
d(x,A) = inf d(x,y) avec y qui apppartient à A
c'est tout ce qu'on a ;
Sans hypothèse sur A, on aura de la peine à prouver que c'est fermé...
Quelle est la question précise sur?
en fait on me demande de montrer que pour tout c appartenant à X d(x,A)=d(x,A barre) donc je pensais montrer que A = A barre , non?
pour tout x pardon pas tout c
Comme on ne suppose pas
Il faut le montrer à partir de la définition.
Tu commences par utiliser
Pour prouver la deuxième inclusion pas de soucis par contre pour la première je ne vois pas pourquoi le fait d'utiliser la propirété A est contenue dans A barre me donne d(x,A)>= d(x,A barre), en tout cas merci beaucoup pour ton aide
C'est une conséquence de la définition d'une borne inférieure. Il faut partir de
D'accord je vois et enfin une dernière chose sur laquelle j'hésite on me demande de déterminer l'ensemble des x appartenant à X telle que d(x,A) soit nulle .
Je sais que d(x,A) - d(x,A barre) est nulle
je pensais à la frontiere de A ?
salut
il faut montrer |f(x)-f(x0)|<||x-x0|| pour tout x0 ça vient de l'inégalité suivante:
|d(x,A)-d(y,A barre)|=<||x-y|| pour tt x et y de A.
donc la solution.
il faut utiliser la définition de l'adhérence. en effet:
x appartient à A barre==>il existe xn de pont de A qui converge vers x.
c à d lim xn=x lorsque n tend vers l'infini.
d(x,A)=lim d(xn,A) puisqu'elle est continue(1-lipschitzienne)
or xn appartient à A alors d(xn,A)=0 d'où d(x,A)=0
