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1-lipschitzienne



  1. #1
    aureliaMASS

    1-lipschitzienne

    --------------------------------------------------------------------------------

    Bonjour ,
    j'ai besoin d'aide pour un DM je suis un peu bloquée, on me demande
    Soit (X,d) un espace métrique et soit A inclus dans X, montrer que l application qui à x appartient à X associe :

    d(x,A) = inf d(x,y) avec y qui apppartient à A

    est 1-lipschitzienne,

    je voudrai montrer que quelque soit x et y d_f (f(x),f(y)) est inferieur ou égal à dE(x'y) je ne vois pas comment , merci pour votre aide.

    -----


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  3. #2
    cleanmen

    Re : 1-lipschitzienne

    Salut,

    Utilise l'inégalité triangulaire!

  4. #3
    Forhaia

    Re : 1-lipschitzienne

    Bonsoir,

    Introduis via l'inégalité triangulaire un point de A


     Cliquez pour afficher

  5. #4
    aureliaMASS

    Re : 1-lipschitzienne

    merci beaucoup je n'étais pas sûre du tout

  6. #5
    aureliaMASS

    Re : 1-lipschitzienne

    D'autre part on me demande de montrer que A =A barre je veux montrer que A est un fermé avec une suite (xn) d ' éléments de A qui tend vers x mais je ne sais pas comment le prouver

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    God's Breath

    Re : 1-lipschitzienne

    Citation Envoyé par aureliaMASS Voir le message
    D'autre part on me demande de montrer que A =A barre...
    Il faudrait nous préciser les hypothèses faites sur A pour espérer prouver un tel résultat.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  10. #7
    aureliaMASS

    Re : 1-lipschitzienne

    Soit (X,d) un espace métrique et soit A inclus dans X, montrer que l application qui à x appartient à X associe :

    d(x,A) = inf d(x,y) avec y qui apppartient à A

    c'est tout ce qu'on a ;

  11. #8
    God's Breath

    Re : 1-lipschitzienne

    Sans hypothèse sur A, on aura de la peine à prouver que c'est fermé...
    Quelle est la question précise sur ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  12. #9
    aureliaMASS

    Re : 1-lipschitzienne

    en fait on me demande de montrer que pour tout c appartenant à X d(x,A)=d(x,A barre) donc je pensais montrer que A = A barre , non?

  13. #10
    aureliaMASS

    Re : 1-lipschitzienne

    pour tout x pardon pas tout c

  14. #11
    God's Breath

    Re : 1-lipschitzienne

    Citation Envoyé par aureliaMASS Voir le message
    en fait on me demande de montrer que pour tout c appartenant à X d(x,A)=d(x,A barre)
    Comme on ne suppose pas fermée, on n'a pas , mais on a .

    Il faut le montrer à partir de la définition.
    Tu commences par utiliser pour prouver , puis tu utilises le fait que tout point de est limite d'une suite de points de pour prouver .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  15. #12
    aureliaMASS

    Re : 1-lipschitzienne

    Pour prouver la deuxième inclusion pas de soucis par contre pour la première je ne vois pas pourquoi le fait d'utiliser la propirété A est contenue dans A barre me donne d(x,A)>= d(x,A barre), en tout cas merci beaucoup pour ton aide

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  17. #13
    God's Breath

    Re : 1-lipschitzienne

    C'est une conséquence de la définition d'une borne inférieure. Il faut partir de
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  18. #14
    aureliaMASS

    Re : 1-lipschitzienne

    D'accord je vois et enfin une dernière chose sur laquelle j'hésite on me demande de déterminer l'ensemble des x appartenant à X telle que d(x,A) soit nulle .
    Je sais que d(x,A) - d(x,A barre) est nulle
    je pensais à la frontiere de A ?

  19. #15
    achraf30

    Re : 1-lipschitzienne

    Citation Envoyé par aureliaMASS Voir le message
    --------------------------------------------------------------------------------

    Bonjour ,
    j'ai besoin d'aide pour un DM je suis un peu bloquée, on me demande
    Soit (X,d) un espace métrique et soit A inclus dans X, montrer que l application qui à x appartient à X associe :

    d(x,A) = inf d(x,y) avec y qui apppartient à A

    est 1-lipschitzienne,

    je voudrai montrer que quelque soit x et y d_f (f(x),f(y)) est inferieur ou égal à dE(x'y) je ne vois pas comment , merci pour votre aide.
    salut
    il faut montrer |f(x)-f(x0)|<||x-x0|| pour tout x0 ça vient de l'inégalité suivante:
    |d(x,A)-d(y,A barre)|=<||x-y|| pour tt x et y de A.
    donc la solution.

  20. #16
    achraf30

    Re : 1-lipschitzienne

    Citation Envoyé par aureliaMASS Voir le message
    D'accord je vois et enfin une dernière chose sur laquelle j'hésite on me demande de déterminer l'ensemble des x appartenant à X telle que d(x,A) soit nulle .
    Je sais que d(x,A) - d(x,A barre) est nulle
    je pensais à la frontiere de A ?
    il faut utiliser la définition de l'adhérence. en effet:
    x appartient à A barre==>il existe xn de pont de A qui converge vers x.
    c à d lim xn=x lorsque n tend vers l'infini.
    d(x,A)=lim d(xn,A) puisqu'elle est continue(1-lipschitzienne)
    or xn appartient à A alors d(xn,A)=0 d'où d(x,A)=0

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