puissance complexes

[invite473fd10c]

Soit a un réel,les affirmations:

a^(x+y)=a^x * a^y

et

(a^x)^y=a^xy

sont vraies pour x et y réels, mais le sont-elles pour x et y complexes?
Pourquoi?
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[invite57a1e779]

Comment définis-tu lorsque et ne sont pas réels ?

[invite473fd10c]

je n'en ai aucune idée, c'est bien çà le problème.
Veux-tu dire que l'on peut définir (a^x)^y de plusieurs manières?

[invite57a1e779]

Une seule définition me suffirait, mais je n'en ai pas...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite473fd10c]

Est-ce que çà veut dire que tu ne connais pas la réponse?

[invite57a1e779]

Effectivement, je n'ai pas de réponse, puisque je ne sais pas comment évaluer le premier membre de l'égalité ; par contre l'égalité vaut pour tout , et tous et complexes.

[invite473fd10c]

bon et bien merci de ton aide pour la première égalité, mais qu'entends-tu par évaluer le premier membre, et comment sais-tu que la première est bel et bien vraie?

[invite57a1e779]

La première égalité est tout simplement , et je connais les propriétés de la fonction exponentielle.

Pour la seconde, je veux dire que je ne sais pas calculer , donc je ne peux pas savoir si c'est égal à dont je connais la valeur, c'est .

[invite473fd10c]

Dans ce cas, pourquoi ne peut-on pas écrire :

(a^x)^y= (e(x ln(a) )^y = e(xy ln(a)) ?

[invite57a1e779]

C'est tout simplement parce que l'on ne sait pas élever le nombre complexe à la puissance .

[invite473fd10c]

ah ok. merci alors pour tes éclaircissements.

[invite0fa82544]

Tiens donc !? Voilà qui est nouveau !!!
La fonction puissance généralisée est définie comme z^Z=exp(Z ln z). Le ln (complexe) est parfaitement défini (même s'il a une infinité de détermnations), quant à l'exponentielle...
z^Z est donc défini quels que soient z et Z complexes

[invite57a1e779]

Le ln (complexe) est parfaitement défini (même s'il a une infinité de détermnations)

Il faut donc redéfinir précisément ce dont on parle, et ce que l'on entend par l'égalité de deux valeurs...

[invite0fa82544]

Tout est parfaitement défini : le ln complexe est une fonction multiforme, tout comme la fonction puissance. Pour ne pas se planter dans un raisonnement utilisant ce type de fonction, il faut définir proprement l

[invite0fa82544]

Tout est parfaitement défini : le ln complexe est une fonction multiforme, tout comme la fonction puissance. Pour ne pas se planter dans un raisonnement utilisant ce type de fonction, il faut définir proprement la branche avec laquelle on travaille, et s'y tenir, quitte à considérer successivement les différentes branches si le problème posé l'exige.

[invite57a1e779]

Tout est parfaitement défini

J'en suis convaincu... reste à l'expliquer à maximega qui ne connaît vraisemblablement pas ce qu'est une branche d'une fonction multiforme.

[breukin]

Allez, quelques explications.
Si est un nombre complexe, tous les nombres de la forme sont des logarithmes de , au sens où .
Dès lors, tous les nombres peuvent représenter . Ils diffèrent tous par un facteur qui ne vaut 1 que pour certaines valeurs de (et ).
Pour arriver à une égalité entre deux (et même trois) nombres complexes , il faut bien identifier laquelle des valeurs possibles de et de on choisit.