Bonjour !
Dans un exercice, on considère le polynôme :
P(X)=(1-(X^2))T"n(X)-X*T'n(X)+(n^2)Tn(X)
On me demande :"En s'intéressant au nombre de ses racines, montrer que P(X)=0"
Je sais que deg(Tn(X)) est n donc j'en ais déduit que deg(P(X))<ou=n mais je ne vois pas le rapport avec le fait que P(X)=0.
Il y avait d'autres questions avant donc peut être qu'il faut utiliser d'autres résultats mais je ne vois pas lesquels?
Merci d'avance pour votre aide.
Ca va être coriace si on ne sait pas ce qu'est la fonction T.
Un polynôme de Tchebychev ?
On sait que :
-T0(X)=1 et T1(X)=X
-Tn+2(X)=2XTn+1(X)-Tn(X) pour tout n de N.
-deg(Tn)=n
-le monôme de plus haut degré de Tn est 2^(n-1)X^n
-Tn(-X)=(-1)^nTn(X)
-Tn(1)=1
-Tn(cos(t))=cos(nt) pour tout n de N et tout t de R.
-(1-cos^2(t))T"n(cos t)-cos(t)T'n(cos(t))+(n^2)Tn(cos( t))=0
Voila tout les renseignements donnés par les questions précédentes
Tchebychev ??
Si tu remplaces X par cos(t) dans l'expression de P(x), que peux tu dire ?
Cela te donne t il une indication sur le nombre de racines de P(X) ?
J'obtient alors l'expression de la question précédente:
(1-cos^2(t))T"n(cos t)-cos(t)T'n(cos(t))+(n^2)Tn(cos( t))=0
mais du coup on a déja prouver que cela était égal à 0 donc je ne comprend pas le but.
Oui c'est nul pour toutes les valeurs de t, cela fait combien de racines à ton polynôme P(X) ?
-1<ou=cos(x)<ou=1 donc on a X appartient à [-1;1]. C'est ça?
Oui, ton polynôme s'annule pour tout x dans [-1,1] --> que peut on dire d'un tel polynôme (pense au nombre de ses racines) ?
