Explications sur les vecteurs propres

[invite4766dea5]

Bonsoir, et oui c'est encore moi, après le post d'hier sur les valeurs propres, dont je remercie encore une fois God's Breath et Fanch5629, quelqu'un pourrait m'expliquer comment trouver les vecteurs propres associés à ces vecteurs, parce que je vois pas trop comment faire =/, dans le livre que j'utilise l'auteur donne une matrice 2x2 qui est :
M = [1, 1]
[3,-1]

avec pour valeur propres a1= 2 et a2= -2 ,
et donne pour ainsi dire son résultat sans expliquer le raisonnement et la je suis perdu , si quelqu'un pouvait m'expliquer comment trouver ces vecteurs ça serait gentil,
Merci.
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[invite8bc5b16d]

Salut,

Pour une matrice 2*2, il est assez simple de trouver les valeurs propres. Tu as d'ailleurs 2 méthodes équivalentes qui marchent toujours :
1) Les valeurs propres sont les racines du polynôme det(M-x*Id) ou Id est la matrice identité (des 1 sur la diagonale, des 0 ailleurs)
2) Les valeurs propres a1 et a2 vérifient a1+a2 = Tr(M) et a1*a2 = det(M).

Une fois que tu as les valeurs propres a1 et a2, les vecteurs propres {V1} et {V2} vérifient respectivement les équations M*V1 = a1*V1 et M*V2 = a2*V2.

Je te fais le cas a1 en exemple :
On cherche les vecteurs V qui vérifient MV = 2V. On note V = (x,y).
De MV = 2V on déduit 2 équations (1 pour chaque "ligne") : x+y = 2x et 3x-y = 2y

Soit x = y et x=y.

Les vecteurs propres associés à la valeur propre 2 sont donc les vecteurs de la forme V = (x,x) où x est un réel. C'est donc un sous-espace vectoriel de dimension 1.

Je te laisse t'entraîner pour la deuxième valeur propre (tu devrais trouver V=(x,-3x), x réel)

[invite4766dea5]

Bonsoir, merci pour ta réponse, je comprends mieux comment les calculer maintenant, mais je n'arrive pas à trouver le résultat escompté pour V2 (1x, -3x), je fais le calcul suivant :
je pars de MV = -2V donc j'ai comme équations : x + y = -2x et 3x - y = -y, mais comme résultat je trouve x=-y/3 et x = -y/3, je pense avoir sauté quelque chose sur le calcul mais je vois pas

[ericcc]

je verrai plutot 3x-y=-2y, non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4766dea5]

je verrai plutot 3x-y=-2y, non ?

,
Oui c'est pas vrai, j'ai pas fait attention à la faut mais le résultat change pas par contre =/.

[ericcc]

Oui le résultat est bon : 3x+y=0, soit y=-3x, c'est ce que tu as trouvé et qu'Alien t'a donné

[invite4766dea5]

Oui le résultat est bon : 3x+y=0, soit y=-3x, c'est ce que tu as trouvé et qu'Alien t'a donné

Bonjour, oui c'est vrai je viens de m'apercevoir de ma bêtise , trois ans après toujours les mêmes fautes d'inattention c'est dur , par contre pour x+ y = - 2x j'obtiens aussi -3x et là par contre je voir pas pourquoi =/.

[invite4766dea5]

Bonsoir, quelqu'un aurait-il une idée, car bon je vois pas trop, je trouve toujours y = -3x, pour x + y = -2x , et si quelqu'un pouvait m'expliquer aussi la diagonalisation, j'ai lu le document disponible dans la bibliothèque du site mais j'ai absolument rien compris .