limite de fonction exp et ln

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bonsoir a tous g un probleme avec la limite de la fonction f(x)=exp(-1/x^2)lnx qui est definie sur )0,+linfini( donc lim exp(-1/x^2) lnx =? SI xtend vers 0+ merci de me repondre
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[Universus]

Je ne sais pas si tu connais la règle de l'Hospital ; il s'agit d'une règle vraiment utile dans ce genre de situation.

Tu as . Faisons un changement de variable : . On a donc à présent :



L'exponentielle tend vers 0 tandis que le logarithme tend vers moins l'infini ; pour utiliser la règle de l'Hospital, mieux vaut mettre ça sous la forme 0/0 ou infini/infini. Je te propose d'écrire :



On obtient donc une forme indéterminée de la forme infini/infini, mais ce choix est plus naturel que d'avoir tenté de mettre le logarithme au dénominateur pour avoir 0/0 (parce que les logarithmes n'ont pas les propriétés intéressantes en les inversant qu'on les exponentielles, surtout quand l'exponentielle a déjà un argument -u, et qu'en plus on se rendrait compte si on faisait les calculs qui suivent que ça n'aiderait pas beaucoup...).

La règle de l'Hospital dit (entre autres) que si on a une forme indéterminée dans une limite de la forme infini/infini, alors si on remplace la fonction au numérateur par sa dérivée et la fonction au dénominateur par sa dérivée, la limite demeure la même. On a donc :



Ainsi,



Dans le contexte de ton autre problème, cela signifie que F(x) est aussi continue en x=0 et, donc, F(x) est continue sur tous les réels. Ce n'était pas le cas le plus évident de limite indéterminée à résoudre, mais tu devrais te faire la main à pouvoir les résoudre avec et sans la règle de l'Hospital, car on en rencontre souvent.

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encore une fois merci a toi universus et encore une fois si ta une bonne source d exercices sur l analyse mathematique merci de me faire signe stp

[ericcc]

Pas besoin de règle de l'Hopital ici, il suffit d'écrire ln(u)/e^u=ln(u)/u * u/e^u
C'est un produit de deux termes qui tendent vers zéro, par comparaison de limites connues.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Universus]

En effet, c'est plus rapide et plus intuitif en un sens ; ce n'est pas une habitude que j'ai prise, mais il est évidemment plus raisonnable de chercher d'opérer directement sur la limite afin de faire apparaître des limites connues avant de passer par l'Hospital. Néanmoins, faut-il encore connaître ces limites.