puissances et imaginaires

[benjgru]

bonjour,

comment calculer e^i, 1^i , (-1)^i ou encore la belle égalité e^Pi = i^(-2i) ??

je suis passé par les exponentielles réelles ou complexes mais je n'arrive à rien de bien brillant (sauf 1^i = 0)


d'avance merci .
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[Jeanpaul]

Faut se prendre par la main, je passe sur le cas exp(i) qui n'est jamais que cos(1) + i sin(1) :
Par exemple : u = (-1)^i
Ln(u) = i Ln(-1)
On pose
v = Ln(-1) donc
exp(v) = -1 et là, on reconnaît exp(i pi) = -1 donc -1 = exp(v) et v = i(pi + 2 k pi)
Donc on remonte la chaîne :
Ln(u) = i v = -(pi + 2 k pi)
u = exp[- (pi + 2 k pi)], c'est un réel (plusieurs déterminations)

[benjgru]

ok merci mais c'est plus compliqué que je le croyais ...

Ln(-1) ça existe ?!
et Ln u = iv me laisse songeur aussi...

je pressens que la fonction log s'applique aux complexes, choses que j'ignorais...

[Jeanpaul]

Ln(-1) n'existe que sur le corps des complexes, c'est le nombre dont l'exponentielle vaut -1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[benjgru]

ok...

et y pas une relation entre log sur les complexes et l'argument de l'exponentielle complexe ?? ça se ressemble je trouve a priori...

[Jeanpaul]

Sûr qu'il y a !
Suppose que tu cherches le complexe z= Ln(A) .
On cherche z=x+i y tel que exp(z) = R exp(i a) en mettant le complexe A sous forme polaire.
exp(z) = exp(x). [cos(y) + i sin(y)] que l'on identifie à R. [cos(a) + i sin(a)]
On voit alors que x est égal à Ln(R) au sens habituel (R réel positif) et y est égal à l'argument a, à 2 pi près, forcément. Le log complexe est multiforme.