complexe et bijection

[invite572287fc]

je m'exerce pour un DS et je suis tombé sur cet exercice ou je suis bloqué.

On considère U l'ensemble des nombres complexes de module 1 et un nombre complexe fixé x n'appartenant pas a U. Démontrer que l'application Z-> (Z+x)/(1+xbarZ)définit une bijection de U dans lui même de réciproque à préciser.

Pour une bijection il faut une application monautomne donc je veux passer par la dérivée mais je vois pas comment avec des nombres complexes

merci de bien vouloir m'aider
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[inviteae1101ca]

tu pourrais utiliser la définition d'une application bijective càd l'injection et la surjection .

[Flyingsquirrel]

Salut,

Pour une bijection il faut une application monautomne donc je veux passer par la dérivée mais je vois pas comment avec des nombres complexes

C'est vrai quand on travaille avec des nombres réels mais dans la relation « être inférieur à » n'a pas de sens, on ne peut donc pas parler de fonction monotone.

Pour prouver qu'une fonction est bijective il suffit d'exhiber sa réciproque. Ici cela revient à résoudre l'équation d'inconnue ce qui n'est pas bien compliqué.

[invite572287fc]

d'accord mais alors il faut que je pose:
x=a+ib et que je résolves comme ca et je laisse z comme inconnue?
ou je remplace aussi z?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

d'accord mais alors il faut que je pose:
x=a+ib et que je résolves comme ca et je laisse z comme inconnue?
ou je remplace aussi z?

Non, ce n'est pas la peine, il faut simplement exprimer en fonction de et (et ). Remplacer par ne fera que compliquer les choses.

[invite572287fc]

d'accord mais je comprend pas ce que représente ton w

[Flyingsquirrel]

d'accord mais je comprend pas ce que représente ton w

est un élément de (et désigne l'application définie dans le premier message). Comme on cherche une expression de (qui est une fonction définie sur ), pour tout on doit déterminer c'est-à-dire résoudre l'équation d'inconnue .

[invite572287fc]

ok merci beaucoup je vais essayer de faire ca demain et je posterai ce que j'ai fais pour voir si je me suis planté ou pas