Rayon de courbure d'une courbe plane

[Bleyblue]

Bonjour,

Voici une question de mon examen de janvier à laquelle je me suis bien planté et je ne n'y arrive toujours pas.

Soit C la courbe plane d'équation y = 3sin(x)²
a) Pour quelles valeurs de x le rayon de courbure de C est il minimum ?

réponses : x =

b)Pour quelles valeurs de x la courbure de C est elle minimum ?

réponses : x =

Bon alors, je commence par la a)

Le rayon de courbure(R) est donné par :



Et je trouve donc :



Maintenant il faudrait dérivé cela et étudier le signe, vu l'allure de la fonction bonne chance ...

Je pense qu'il faut procédé autrement. Il faudrait tracer le graph de 3sin²(x) entre 0 et 2pi/3 et voir ou le courbure est maximale (donc rayon de courbure minimal) mais je n'y arrive pas (en tout cas je ne tombe pas sur les bonnes valeurs)
J'ai même essayé avec ma calculatrice graphique, rien à faire ...

Avez vous une idée ?

Merci
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[inviteab2b41c6]

Puisque c'est un QCM et vu la tête de la fonction, tu devrais entrer les proposition dans la formule et regarder quand est ce que c'est minimum.
Notamment une fraction est minimale lorsque le numérateur l'est ou lorsque le dénominateur est maximal...
a+

[Bleyblue]

Non non ce n'est pas un QCM, la ce sont les réponses (il y en a plusieurs donc)

Notamment une fraction est minimale lorsque le numérateur l'est ou lorsque le dénominateur est maximal...

J'ai bien essayé mais je ne trouve que comme réponse

[invitec314d025]

Au fait tu es sûr de ton calcul de R ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Oups, c'est faux ...

Voila en fait :



On cherche donc les endroit ou |3sin 4x| est maximum, c'est à dire certainement pas en ...

merci

[invitec314d025]

Tu es sûr pour le dénominateur ?

[invitea3eb043e]

Bizarre tout plein, ce machin. D'abord on constate que le rayon de courbure dépend du coefficient devant le sin²(x), donc il est surprenant qu'il soit minimal en des points aussi simples que ceux cités.
Ensuite, la courbure étant l'inverse du rayon de courbure, on la verrait s'annuler aux points d'inflexion, donc quand cos(2x) = 0 car la fonction s'écrit en fonction de cos(2x) mais ça, tu l'avais vu.

[Bleyblue]

Eh bien les réponses sont celles du professeur donc je pense pas qu'elles soient fausses. Maitenant je me suis peut être trompé en prenant notes des réponses ...

Sinon voilà pour le rayon de courbure, il suffit de calculer les deux dérivées :

y' = 6 sin x cos x = 3 sin(2x)
y'' = 6sin(2x)cos(2x) = 3sin(4x)

Et alors j'applique la formule

merci

[inviteab2b41c6]

Je ne suis pas expert en trigo mais déjà y'a un truc qui foire ici:
y' = 6 sin x cos x = 3 sin(2x)
y'' = 6sin(2x)cos(2x) = 3sin(4x)

Si y'=3sin(2x) alors y"=-6cos(2x) et non pas 3sin(4x)
Ou alors je me suis planté...

[invitec314d025]

Si y'=3sin(2x) alors y"=-6cos(2x) et non pas 3sin(4x)

au signe près ?

[inviteab2b41c6]

Exactement, surtout que je ne fais jamais cette faute en vrai

[Bleyblue]

ouilleouilleouille, je ne sais même plus dérivé moi ou quoi ...
J'ai du m'embrouiller entre formules de trigo et dérivées sans doute ...

Je vais revoir mes calculs,

merci !

[Bleyblue]

Oui donc sur l'intervalle considéré |6 cos 2x | est maximum en pi/2 et en 0 uniquement ....

Ou alors peut être que je dois regarder lorsque le dénominateur est maximal ET lorsque le numérateur est minimal ?

Ca me semble pas très rigoureux comme méthode ...

merci

[invitec314d025]

Au fait je me suis amusé à dériver R, et je trouve que la dérivée s'annule uniquement en PI/2. Peut-être une erreur de ma part.

[Bleyblue]

Ou alors peut être que je dois regarder lorsque le dénominateur est maximal ET lorsque le numérateur est minimal ?

Non je tombe à nouveau sur pi/2 et zéro.

je ne comprend pas ...

merci

[Bleyblue]

Au fait je me suis amusé à dériver R, et je trouve que la dérivée s'annule uniquement en PI/2. Peut-être une erreur de ma part.

Tu as fais le calcul, mais l'expression de la dérivée est horrible ...

Eh bien sinon nos résultats concordent on dirait ...

merci

[Bleyblue]

J'ai aussi tracer le graphique du rayon de courbure et il est bel et bien minimum en 0 et pi/2 uniquement.

Pourtant le professeur n'a jamais publié d'erreurs dans ses corrections d'examens, d'autant plus que s'il y en avait eu, ses assistants l'auraient remarqués ...

Donc il faut supposer que j'ai commis une erreur en recopiant.
Mais je vois mal comment j'aurais pu changer un "pi/2" en "pi/6, pi/3, pi/2", c'est de la folie ...

Seule solution possible, j'ai fait une erreur dans l'énoncé du problème ...

merci

[invitec314d025]

Tu as fais le calcul, mais l'expression de la dérivée est horrible ...

Ce que je trouve n'est pas si ignoble:

[Bleyblue]

Ah ben non, bon il me semblait que ... mais pas grave

Bah sinon nous sommes bien d'accord je suppose, pour dire que le rayon de courbure n'est minimum qu'en pi/2 ?

merci

[invite19415392]

Est-ce que l'erreur ne viendrait pas de l'énoncé (et non de la correction) ? Si vous ne partez pas avec la bonne expression, ça risque pas de coller. Enfin bon, je dis ça, je dis rien, mais ça semble être l'explication la plus rationnelle.

[Bleyblue]

Ben si, c'est bien ce que j'ai suggéré :

Seule solution possible, j'ai fait une erreur dans l'énoncé du problème ...