Suites récurentes et nbrs complexes

[invite486d55be]

Salut à tous !
Je bloque sur un exo d'analyse 1ere année c'est la fin de mon dm donc chaud pour moi, aidez moi please !

I un intervalle non vide et fermé de R, f une application k-contractante de I dans R telle que F(I) C(inclus) I. On définit la suite Un par U0 appartient à I et la relation de recurrence U(n+1)=f(Un).

Questions :
1) Montrer par récurrence que pour tout i appartenant à N* , |Ui - U(i-1)|=< K^(i-1)|U1 - U0|
2) Soit l = Lim (Ua(n)) quand n tend vers + infini. Montrer ( en utilisant 1 ) que f(l) - l = Lim ( Ua(n) + 1^(-Ua(n) ) quand n tend vers + infini , et en déduire que l est un point fixe de f.
3) Montrer alors que pour tout n appartenant à N, |Un - l | =< K^n |U0 - l |


Merci de me donner une piste, ou mieux de me donner quelques étapes en détails...
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[invite486d55be]

Personne pour m'aider ?

[invite3240c37d]

On a par définition
1) . Je te laisse utiliser la récurrence .
2)Il faudra peut être montrer d'abord que converge ..
Ensuite et je te laisse continuer ..
3) .. etc

[invite486d55be]

Je suis désolée mais je ne comprends pas comment faire une initiation avec des nombres imaginaires et je ne vois pas comment utiliser la méthode toute entiere...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Je suis désolée mais je ne comprends pas comment faire une initiation avec des nombres imaginaires

Je ne vois aucun nombre imaginaire dans ce problème : tout se passe dans un intervalle I de R.

[invite486d55be]

Ok, ça élucide pas mal de choses déjà...

[invite486d55be]

Mais malgrè tout je n'arrive pas à appliquer la réccurrence sur une intervalle... Arf j'ai du mal

[invite486d55be]

C'est surtout le principe de "k-contractante" à appliquer dans une reccurrence qui me pose probleme...

[invite486d55be]

Comment remplacer une fonction k-contractante quand f(Un) svp ?