Matrice d'une appli linéaire

[inviteb4d8c3b4]

Bonjour,
je suis en train de faire u exo où je bloque, vous pourriez peut-être m'aider à trouver une piste...

ENONCE:
est muni de la base cannonique {e1, e2, e3}.

QUESTIONS:
1) Montrer que les vecteurs suivant forment une base cannonique:


Là, j'ai répondu qu'aucun de ces vecteurs n'est une combinaison linéaire des autres. Il s'agit donc d'une famille libre. De plus, tout vecteur de peuvent s'écrire:

C'est donc bien une famille libre génératrice dans .

2) Et là, les soucis commencent
est muni de la base cannonique. On définit f l'application linéaire de dans par:

a) déterminer la matrice A représentant f lorsque est muni de la base {u, v, w}.
b) déterminer la matrice A' représentant f lorsque est muni de la base cannonique.

Pour la a), j'ai répondu: mais pour le b), je vois pas comment faire. Pourriez-vous m'aider svp ?

Merci
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[invitedcccd9aa]

Bon le passage prepa-iut m'a fait oublier des trucs mais il me semble que c'est ca :

A' = X*A

Avec X qui est ton e1 e2 e3 et e4 de la base cannonique de |R₄.
Apres tu a un sytème que tu résouds.

Par co,tre je ne suis pas du tout sûr de ma réponse mais bon courage quand même ^^.

[inviteb4d8c3b4]

Bon le passage prepa-iut m'a fait oublier des trucs mais il me semble que c'est ca :

A' = X*A

Avec X qui est ton e1 e2 e3 et e4 de la base cannonique de |R₄.
Apres tu a un sytème que tu résouds.

Par co,tre je ne suis pas du tout sûr de ma réponse mais bon courage quand même ^^.

Merci quand même. Quelqu'un pourrait compléter un peu plus en détail svp ? Merci !

[sylvainc2]

La base canonique de R^3 est e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)

Donc d'après les valeurs on a:
u=e1+e3
v=e2-e1
w=2e1+e2+e3

Pour trouver A' la matrice de f dans la base e1,e2,e3, on peut faire comme ceci:
f(u)=f(e1+e2)=f(e1)+f(e2)
f(v)=f(e2-e1)=f(e2)-f(e1)
f(w)=f(2e1+e2+e3) = f(2e1)+f(e2)+f(e3)
car f est linéaire, et on réarrange et substitue autant que nécessaire pour avoir f(e1),f(e2),f(e3) en fonction de f(u),f(v) et f(w) car ceux-ci sont connus:

f(e1)=f(u)-f(e3)
f(e2)=f(v)+f(e1)
f(e3)=f(w)-2f(e1)-f(e2)

Je vais développer f(e3):
f(e3)=f(w)-2f(e1)-f(e2)
= f(w)-2[f(u)-f(e3)] - [f(v)+f(e1)]
= [3f(u)+f(v)-f(w)]/2
si j'ai pas fait d'erreur. On remplace f(u) etc. par leurs valeurs connues, ceci donne la colonne 3 de A'. On fait la même chose f(e1) et f(e2) pour avoir les deux autres colonnes.

[A voir en vidéo sur Futura]