casse tête b²+1 et multiple de 5, nombre premiers

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bonjour

j'ai un petit casse tête mathématique à vous proposer :

montrer que si pair et est entier alors n'est jamais multiple de 5

en fait c'est ça tout simple

si vous avez la solution dites que vous l'avez et attendez un jour que les autres se creusent
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sinon je me suis amusé avec mon ordinateur pour trouver une méthode qui propose des nombres qui soient de bon candidats pour être des nombre premiers (en tenant compte des toutes petites limites de mon processeur).

j'ai farfouiné un peu et j'ai trouvé ceci que je trouve pas trop mal. merci de vos commentaires car si les débuts semblent prometteurs rien ne dit que c'est vraiment intéressant pour les très grands nombres...

en prenant pair et
en allant aux limites de calculs de mon ordi et sous réserve des erreur d'arrondi de mon processeur je trouve premier pour

,
,
,

en fait est un nombre premier dans cas sur

dans les autres cas, se décomposent en un maximum de facteurs premiers

au delà de j'ai un schisme, car en divisant des nombres impairs entre eux je tombe sur un nombre pair donc je me dis que c'est pas la peine de considérer les résultats de l'ordinateur comme justes
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[invite986312212]

bonjour,

utilises-tu un logiciel de calcul en arithmétique exacte? sinon, je te conseille d'installer Yacas: http://yacas.sourceforge.net/homepage.html

[inviteaf1870ed]

Je ne vois pas l'utilité de la condition b pair ? si b est un carré, alors b²+1 n'est jamais multiple de 5, me semble t il ?

[Médiat]

Je ne vois pas l'utilité de la condition b pair ? si b est un carré, alors b²+1 n'est jamais multiple de 5, me semble t il ?

Dans la mesure où 16 est congru à 1 modulo 5, tu as incontestablement raison !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

pardon mediat :

si b2+1 = 50
b2 = 49 = 7^2, mais b est impair donc la condition initiale est necessaire

j'ai une approche à proposer :
supposons b2+1 = 5k
5k termine forcement par 0 ou 5
donc 5k -1 par 9 ou 4

si 5k-1 termine par 9 alors b est impair ... out.
si 5k-1 termine par 4 alors b termine par ..... 2 obligatoire.

hors, il n'existe aucun carré d'entier qui termine par 2.
les seules terminaisons sont outre 1 : 4,5,6 et 9.

je sais c'est pas des maths de haute volée, mais ça me semble tenir la route.

[inviteaf1870ed]

Dans la mesure où 16 est congru à 1 modulo 5, tu as incontestablement raison !

oui mais on regarde b²+1, qui est donc congru à 2, ou alors j'ai loupé un truc ?

[invite51d17075]

toutes mes excuses !
je vous avais lu trop vite !

[xxxxxxxx]

Je ne vois pas l'utilité de la condition b pair ? si b est un carré, alors b²+1 n'est jamais multiple de 5, me semble t il ?

essaye 24572

[inviteaf1870ed]

24572 est pair et n'est pas un carré ?
En tous cas voici comment je procède :

 Cliquez pour afficher

si b est un carré, il est congru à 0,1 ou 4 modulo 5. Alors b² est congru à 0 ou 1 modulo 5. Alors b²+1 est congru à 1 ou 2, et donc jamais à 0.

[xxxxxxxx]

bonjour,

utilises-tu un logiciel de calcul en arithmétique exacte? sinon, je te conseille d'installer Yacas: http://yacas.sourceforge.net/homepage.html

j'ai utilisé un programme en qbasic pour ces résultats

sinon avec un programme en php5 je trouve :

... est premier 22nombrespremiers/72essais

... est premier 23nombrespremiers/77essais

mon processeur explose à
sinon au maxi 4 facteur pour :

le plus grand facteur à chercher pour 2 facteurs est x pour


je vais regarder ce programme

merci



je dois corriger et confirmer

,
,
,

c'est le fait que c'était les 16ème, 17ème et 18ème cas qui m'a trompé

[Médiat]

oui mais on regarde b²+1, qui est donc congru à 2, ou alors j'ai loupé un truc ?

Non, non, mon post n'était pas ironique, mais une confirmation, car si b est un carré pair, il est en fait multiple de 4 et donc b² est un multiple de 16 (b² = 16k² donc b² est congru à k² modulo 5, et aucune condition ne pèse en k)

[inviteaf1870ed]

ouf

[xxxxxxxx]

toutes mes excuses !
je vous avais lu trop vite !

n'empêche ta solution est sympa et simplicisme

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bonjour,

utilises-tu un logiciel de calcul en arithmétique exacte? sinon, je te conseille d'installer Yacas: http://yacas.sourceforge.net/homepage.html

j'ai bien essayé mais c'est tout nouveau pour moi et pour l'instant j'ai encore des erreurs de syntaxes dans ma programmation. un volontaire pour corriger mon code ?

[invite51d17075]

merci xxxxxxx,
je rectifie quand même une approximation.

si b2 termine par 4 alors b termine par 2 ... ou 8 ( que j'avais oublié )
mais ça ne change rien au resultat, pas de carré d'en entier terminant par 8

[invite7c37b5cb]

bonjour,
b=12; b²+1=145=5*29
b=18; b²+1=325=5*65
b=22; b²+1=485=5*97
.............................. .............................. ...................

[invite7c37b5cb]

annylation

[inviteaf1870ed]

bonjour,
b=12; b²+1=145=5*29
b=18; b²+1=325=5*65
b=22; b²+1=485=5*97
.............................. .............................. ...................

oui mais b doit être un carré

[inviteaf1870ed]

merci xxxxxxx,
je rectifie quand même une approximation.

si b2 termine par 4 alors b termine par 2 ... ou 8 ( que j'avais oublié )
mais ça ne change rien au resultat, pas de carré d'en entier terminant par 8

Ansset, ton raisonnement est correct pour b pair. Cependant la propriété est également valable pour b impair, comment le montres tu ?

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Ansset, ton raisonnement est correct pour b pair. Cependant la propriété est également valable pour b impair, comment le montres tu ?

du coup ça va devenir un casse tête pour moi maintenant

[inviteaf1870ed]

J'ai donné la réponse dans mon post N°9

[invite51d17075]

Ansset, ton raisonnement est correct pour b pair. Cependant la propriété est également valable pour b impair, comment le montres tu ?

je n'ai pas compris !
désolé.
quelle propriété est valable pour B impair ?

et ou trouves-tu un pb à mon raisonnement ?

[invite51d17075]

heuuuu !!!
la question est au depart si b est pair !! non ???
il existe peut être des solutions avec b impair mais ce n'est pas dans la question initiale.

[invite51d17075]

oki , c'est la même,

si b2 fini par 9 , non seulement b est impair mais
b fini forcement par 3 ou 7 et donc sqrt(b) n'est pas entier !!!!

ça te va ???
je suis encore désolé si mon raisonnement est trop simpliste et ne fait pas appel au congruro-bidules...

[Médiat]

ça te va ???
je suis encore désolé si mon raisonnement est trop simpliste et ne fait pas appel au congruro-bidules...

Votre ton est inutilement agressif, d'autant plus que votre raisonnement fait appel au congruence (modulo 10 au lieu de modulo 5, ce qui vous contraint à faire deux fois plus de travail).

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Votre ton est inutilement agressif, d'autant plus que votre raisonnement fait appel au congruence (modulo 10 au lieu de modulo 5, ce qui vous contraint à faire deux fois plus de travail).

encore un monsieur jourdain qui s'ignore

en tout cas il s'est pas trop mal débrouillé

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J'ai donné la réponse dans mon post N°9

je ne maitrise pas les congruences mais je ne doute pas que ta réponse soit correcte puisque médiat n'a rien relevé

[Médiat]

je ne doute pas que ta réponse soit correcte puisque médiat n'a rien relevé

C'est flatteur, mais ericcc n'a pas besoin de mon aval pour avoir raison

[invite51d17075]

pardon mediat et ericc ,
ne soyez pas fachés.
ma remarque n'était pas aggressive, simplement un peu ironique.
car je sentais que vous vous moquiez de ma proposition.
le monsieur jourdin de la fin en est la preuve.

je sais pas ou sais plus ce que veut dire "congru".
alors je l'ai fait à ma manière, qui soit dit en passant revient un peu au même si je vous lis bien.
par ailleurs, ce que j'ecris est comprehensible au collège.

[inviteaf1870ed]

C'est un forum du supérieur, j'ai donc supposé que les participants de ce fil avaient un niveau de Terminale française, où on étudie les congruences.

Ansset, si tu ne connais pas les congruences, il te suffit de savoir que ce sont les restes de la division par 5.
Ainsi si un nombre a un reste de 1, il s'écrit a=5k+1. Au carré cela donne a²=25k²+10k+1=5*(5k²+2k)+1. Donc le reste de la division par 5 de a² est 1.
Pour un reste de 3, le dernier reste sera 3²=5+4, donc ce sera 4.
Pour la division euclidienne le reste est nécessairement inférieur strictement à 5. Il y a donc 5 cas possibles : 0,1,2,3 et 4.
Fais une table avec a=5k+r, où r prend succesivement les 5 valeurs ci dessus, et déduis en les restes pour a², puis pour (a²)²....et tu auras la version longue de la solution que j'ai donnée dans mon poste 9.