[Nombres Complexes] Petite curiosité

[invitec3143530]

Bonjour !
Il y a quelque chose qui me taraude l'esprit depuis un moment :


Comme vous le savez, un nombre complexe est simplement un couple de réels, je peux donc dire informellement que le nombre de nombres complexes est le carré du nombre de nombres réels.


Or, un nombre complexe peut aussi s'exprimer par un couple de deux nombres, l'un est un réel positif et l'autre un réel compris entre -pi et pi, cette définition implique que le nombre de nombre complexes est quelquechose de largement inférieure à notre premier résultat, ce qui à mon sens, est une une contradiction car on sait que dans les deux cas il y a autant de complexes !

Une explication serait de dire qu'avec un couple de réels, on aurait des complexes en trop, mais non, chaque couple (a,b) correspond à un unique complexe ! De même le couple angle+module est suffisant pour générer le plan complexe même si il est plus petit.

Voilà, je ne sais pas si je me suis fait comprendre (mais en tout cas je sais que mon traité est dénué de tout raisonnement formel !), mais si y a quelqu'un pour m'éclairer j'en serais ravi
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[invite14e03d2a]

Bonjour !
Il y a quelque chose qui me taraude l'esprit depuis un moment :


Comme vous le savez, un nombre complexe est simplement un couple de réels, je peux donc dire informellement que le nombre de nombres complexes est le carré du nombre de nombres réels.


Or, un nombre complexe peut aussi s'exprimer par un couple de deux nombres, l'un est un réel positif et l'autre un réel compris entre -pi et pi, cette définition implique que le nombre de nombre complexes est quelquechose de largement inférieure à notre premier résultat, ce qui à mon sens, est une une contradiction car on sait que dans les deux cas il y a autant de complexes !

Une explication serait de dire qu'avec un couple de réels, on aurait des complexes en trop, mais non, chaque couple (a,b) correspond à un unique complexe ! De même le couple angle+module est suffisant pour générer le plan complexe même si il est plus petit.

Le problème est que tu essaies de comparer deux ensembles infinis et que dans ce cas, on peut avoir des résultats surprenants
Pour les ensembles infinis, le nombre d'éléments n'a pas vraiment de sens (il n'a plus le sens commun qu'il a lorsqu'on manipule des ensembles finis). On lui préfère la notion de cardinalité.

Deux ensembles (finis ou non) ont le même cardinal si et seulement s'il existe une bijection entre les deux.
Intuitivement, deux ensembles ont "le même nombre d'élément" (i.e. même cardinal) si à chaque élément de l'un, on peut faire correspondre un élément de l'autre, et vice-versa.

Dans ton cas, on peut montrer que tan(x/2) est une bijection entre ]-pi,pi[ et R et que ln(x) est une bijection entre R^*₊ et R.
On en déduit une bijection entre R^*₊x]-Pi,Pi[ et R², donc ces ensembles ont le même cardinal.

Cordialement,

[invite4793db90]

Salut,

et s'il on veut absolument parler du nombre de nombres complexes (ou de nombres réels), que l'on peut noter , tu viens de découvrir qu'il n'admet pas les mêmes propriétés que les nombres ordinaires. En particulier .

À noter que ceci est déjà vrai pour des ensembles plus petits : Q est équipotent à Z.

Voir par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_transfini

Cordialement.