Formule de Calcul d'aire

[mimo13]

Bonsoir

Voila, j'ai commencé à travailler cette après-midi sur le problème de l'hyperchèvre que je suppose connu mais je tombe sur quelques chose que je ne comprend pas...

J'ai commencé par le cas le plus simple, celui de deux dimensions.
J'ai vu qu'il fallait tout d'abord trouver la formule donnant l’aire d’un segment circulaire c'est à dire l'aire engendré par la rotation d'un segment de longueur d'un angle .

En traçant un repère pour lequel mon segment est confondu avec l'axe des ordonnés ( avant la rotation ) on remarque facilement que sa surface n'est autre que :


Donc



Puis en effectuant le changement de variable on obtient:


En linéarisant



D'où



Par suite



Mais le problème c'est qu'en fouillant sur le net, j'ai trouvé un numéro du magazine quadrature qui traitait le sujet, ils ont démontré la même formule mais avec une légère différence :



Du coup, j'avoue que je ne comprend pas, le qui tombe du ciel... surtout qu'ils n'ont pas explicité les étapes de leurs calculs, j'ai revérifié plusieurs fois les miens mais sans problèmes...

Merci à vous

Cordialement
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[mx6]

J'ai déja réussi à faire ce problème il y a deux ans il me semble , mais je n'ai eu recourt qu'aux formules de trigonométrie. , tu tiens vraiment à utiliser les intégrales ? Un ami l'a démontré avec les intégrales mais il me semble, il a eu recourt à l'Arcsin quelquepart !

[mimo13]

ah !!! Bravo

A propos de l'arcsin je ne sais pas mais je ne comprend pas ou est ce que mon erreur s'est produit ??

Dis moi, tu as fait le problème pour n dimensions ???

Voici l'article pdf

[mx6]

Non, j'ai fait le problème que dans la 2d ^^ Je n'ai toujours pas étudié les espaces à n dimensions.... donc bon vaut mieux attendre un peu. Pour la 3d ca m'interesse, mais comment vous énoncez le problème ? (La chèvre va brouter quoi et comment ..)

[A voir en vidéo sur Futura]

[mimo13]

Il s'agira alors non pas d'une chèvre mais d'une hyperchevre elle broutera un volume qui correspond à l'intersection de deux sphères cette chevre est supposé ponctuelle.... enfin le problème s'énonce ainsi:

Dans un espace à n dimensions, un hyperpaysan possède un champ hypersphérique de rayon R. Il y enferme son hyperchèvre, attachée par une corde de longueur L, dont l’autre extrémité est fixée en un point de l’hypersphère. Chacun sait qu’une hyperchèvre peut se déplacer partout dans les limites de l’hyperespace qui lui est alloué. L’hyperpaysan veut limiter le champ d’action de l’hyperchèvre à la moitié de l’hypervolume de l’hypersphère. Malheureusement son hyperordinateur s’y perd dans les calculs. Ce serait hypersympa de l’aider à trouver le rapport ρ = L/R en fonction de n...

remplace n par 3

Tout est sur le pdf.

EDIT: Moi aussi j'ai jamais vu les espaces à n dimensions en cours, mais je traite par analogie aux dimensions 2 et 3.

[mimo13]

Au fait la formule qu'ils ont trouvé est la suivante:



Ce qui complique les choses encore !!

[mimo13]

Me revoilà, désolé pour le triple post mais je viens de retrouver une erreur.

Ma formule n'est pas la bonne car j'aurais du utiliser une intégrale double.... l'intégrale par quoi j'ai commencé correspond à la surface entre l'axe des abscisses et la courbe représentative de la fonction , ce qui n'est pas la surface engendrée par la rotation du segment .

Il faudrait donc retrancher la surface du triangle , ce qui donne:

....

[mimo13]

Un Up

[Thorin]

c'est quoi exactement la surface engendrée par un segment en rotation ? c'est une part de gateau d'angle beta ?

[mimo13]

exact !

[Thorin]

dans ce cas, c'est bizarre : l'aire sera proportionnelle à l'angle, donc l'aire de la part de gateau vaudra , à vue d'œil, ce qui ne correspond pas à la formule que tu as trouvé dans l'article

l'intégrale à calculer étant théoriquement

[mimo13]

Bonsoir

Je suis tout à fait d'accord avec toi Thorin, j'ai essayé d'autres méthodes qui ont abouti au meme résultat, je commence à croire que c'est une erreur de leur part...c'est bizarre quand meme !!

Mais je ne suis d'autant pas aussi satisfait de la formule que j'ai trouvé et que Thorin a confirmé normalement si cette formule est exacte on aura :


c'est à dire que quand variera de 0 à cette intégrale sera égale à la surface du cercle de rayon or le calcul donne ...

Merci de vos réponses

Cordialement

[Thorin]

c'est parce que tu t'embrouilles

si on veut la surface du cercle, il faut remplacer simplement beta par 2pi dans la formule trouvée ; toi, tu calcules l'intégrale d'une formule qui donne une surface, ce qui donne évidemment quelque chose de bizarre

[mimo13]

En effet J'ai voulu interpréter la surface du cercle comme la somme de surfaces infinitésimaux mais ce n'est pas le cas de ma formule !!

Donc, on a la bonne formule !!!

Conclusion, soit ils sont de boulets qui balancent n'importe quoi !!!
Soit ils veulent désigner par l'aire d'un segment circulaire autre chose qu'une part de gâteau

Je ferais mes recherches sur ce sujet, je vous informe du nouveau !!

Merci Thorin

Cordialement