Surface Sphere, coordonnées sphériques: ordre des bornes d'integrations?

[invitea0075240]

Bonjour!
Une petite chose me taraude... je désirerai calculer la surface d'une sphère de latitude θ, et longitude φ en passant intégrales en coordonnées sphériques. J'ai buté sur l'ordre, ce qui me donne des résultats pour la sphere de 2(PI)R², 0 ou 4(PI)R²

1)Déjà, est-ce que R²sinθ dθ dφ = dθ dφ R²sinθ bref, sont elles bien commutatives ces dérivées?

2)Je crois que mon problème intervient lors de la pause des integrales.

SURFACE SPHERE = SS(R²sinθ dθ dφ) ?=? SS( R²sinθ dφdθ) ou est-ce que ça dépend uniquement des bornes d'integrations? Je sais qu'il en faut une de (0àPI) et l'autre de (0à2PI). Mais comment savoir quelle borne associer à quelle variable? Suivant comment, je trouve 0, ou 4(PI)R² mais je trouve pas le "bons sens" de ce qu'impliquent les différences entre bornes...

Quelqu'un pourrait il m'éclairer? Merci d'avance!!
Eldorico
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[invitea3eb043e]

Ben ça marche : ton sinus entre 0 et pi vaut 2 et le phi entre 0 et 2 pi donne 2 pi et le produit de tout ça fait bien 4 pi R²

[invitea0075240]

okay merci mais du coup, ça représente quoi quand j'integre sin de 0 à 2(PI) et le phi de 0 à (PI)? c'est calculer le périmetre d'un cercle avec une simple rotation alors? d'ou le (PI)R²?

Et pourquoi le "rectangle" sur la sphère n'a que 2 arrettes courbes (phi*R) et les deux autres droites? (Rsin(θ)dθ) ??? j'aurais pas mis sin(θ) intuitivement...

[invitea3eb043e]

C'est la latitude théta que tu intègres de 0 à pi (parce que tu as choisi de te repérer par rapport au pôle). La longitude s'intègre de 0 à 2 pi.
Imagine un morceau de terrain. Selon le méridien, il mesure R d(théta) mais selon le parallèle, il mesure R sin(théta) d(phi).
En effet, on sait bien que les parallèles sont plus courts le long du pôle.
On peut considérer que tu additionnes des bandes de sphère de longueur 2 pi R sin(théta) et le largeur R d(théta), ce qui revient à intégrer d'abord sur phi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea0075240]

woaw... merci beacoup!!! après plusieurs dessins j'ai bien compris!