Problème suite

[invite7d811809]

Bonjour,

soit la suite définie par : u(o) € ]0;1/V(2)[
et u(n+1) = u(n)-2u(n)^3

Si je montre que u(n) admet un unique point fixe pour u(n)=0, cela suffit-il à montrer que u(n) € ]0;1/V(2)[, pour tout n ?

Merci
-----

[invitec317278e]

non, il faut montrer que cet intervalle est stable pour la fonction x-2x^3

[invite7d811809]

hmm désolé mais pourrais-tu m'expliquer un petit peu

Parcequ'en étudiant f(u(n)), elle est croissante sur ]0;1/V6[, puis décroissante jusqu'à l'infini.
Et les limites ne m'aident guère

Donc je ne vois pas comment faire.

[ichigo01]

tu pourrais utiliser le théorème des valeurs intermédiaires !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea0ece8ff]

hmm désolé mais pourrais-tu m'expliquer un petit peu

Parcequ'en étudiant f(u(n)), elle est croissante sur ]0;1/V6[, puis décroissante jusqu'à l'infini.
Et les limites ne m'aident guère

Donc je ne vois pas comment faire.

Donc f(]0;1/sqrt(2)[) = ]0;f(1/sqrt(6))[ = ]0;0.272...[
Et donc f(]0;1/sqrt(2)[) inclus dans ]0,1/sqrt(2)[

puis apres par recurence:
Un apartient a ]0,1/sqrt(2)[ implique f(Un) apartient a ]0,1/sqrt(2)[
et donc U(n+1) apartient a ]0,1/sqrt(2)[

Donc ça marche bien en continuant ce que tu a fait, si j'me plante pas.

[invitebe08d051]

Donc f(]0;1/sqrt(2)[) = ]0;f(1/sqrt(6))[ = ]0;0.272...[
Et donc f(]0;1/sqrt(2)[) inclus dans ]0,1/sqrt(2)[

puis apres par recurence:
Un apartient a ]0,1/sqrt(2)[ implique f(Un) apartient a ]0,1/sqrt(2)[
et donc U(n+1) apartient a ]0,1/sqrt(2)[

Donc ça marche bien en continuant ce que tu a fait, si j'me plante pas.

Je confirme, c'est correct.

P.S utilise \ et pas / pour Latex.

tu pourrais utiliser le théorème des valeurs intermédiaires !

Je ne vois pas comment on peut s'y prendre, peut tu expliciter ton raisonnement ??

[invite7d811809]

d'accord, merci beaucoup, j'ai compris

Juste une toute dernière question, je bloque sur la toute fin.

En gros, au cours de l'exercice, j'ai trouvé les résultats suivants :

v(n) = 1/u(n+1) - 1/u(n)

Y(n) = ∑ v(k) (de k=0 à n)
Y(n) tend vers +oo

S(n)=∑u(k) tend vers +oo (de k=0 à n)

w(n) = 1/u(n+1)² - 1/u(n)² converge vers 4.

Question 12 : Déterminer un équivalent de u(n) quand n tend vers +oo

J'ai tenté Césaro sur w(n), mais ca me donne des calculs
Césaro sur v(n) (en intégrant Y(n)), je n'y arrive pas car cela tend vers +oo
J'ai essayé de trouver une suite T(n) tel que : lim u(n)/T(n)=1, mais la pareil je n'y arrive pas...



Merci d'avance

[invite7d811809]

Juste pour être sur, ce n'est pas possible d'utiliser Césaro pour trouver une fonction équivalent en prenant une suite dont la limite est oo, n'est-ce pas ?

[invite57a1e779]

w(n) = 1/u(n+1)² - 1/u(n)² converge vers 4.
J'ai tenté Césaro sur w(n), mais ca me donne des calculs

Le théorème de Cesàro (avec un accent grave sur le a, rien sur le e...) pour la suite w(n) affirme que la suite converge vers 4.

Or la somme est très facile à calculer.

[invite7d811809]

ba j'obtiens du :

-1/u(0)²+1/u(n+1)² Pour la somme des w(n), mais après, j'ai du mal à obtenir quelque chose/u(n+1)-1 inférieur à épsilon (pour utiliser la définition de la limite)

[invite57a1e779]

j'obtiens du :

-1/u(0)²+1/u(n+1)² Pour la somme des w(n)

Tu donnes la valeur de la somme , qui contient termes.

Tu as donc, via le théorème de Cesàro : .

A partir de là, tu dois pouvoir trouver la limite de , c'est-à-dire celle de , et en déduire un équivalent sympathique de .