Bonjour, voila j'ai un devoir maison à rendre, pour la semaine prochaine. Le sujet nous a été donné il y a 3 jours, et cela fait 3 jours que je bosse dessus sans avancer. Je voulais savoir si je pouvais avoir un petit coup de main ^^.
Enoncée:
On dispose de deux verres de même contenance 20cL.
Le verre (1) est plein d'eau et le verre (2) contient 10 cL de vin.
A l'aide du verre (1), on remplit le verre (2), puis après avoir rendu le mélange homogène dans le verre, on remplie le verre (1) en utilisant le verre (2).
On répète plusieurs fois cette opération.
On se pose les questions suivantes:
La proportion du verre (1) peut-elle être:
A) Supérieur à celle du verre (2) ?
B) Supérieur à 99,99% de celle du verre (2) ?
Afin de répondre à ces questions, on modélise la situation en notant respectivement, pour tout entier naturel n, u(n) et v(n), les proportions de vin dans le verre (1) et (2), au bout de n étapes.
On a u(0)=0 et v(0)=1
1°a) Justifier que v(1)=1/2 et u(1)=1/4, puis calculer u(2) et v(2).
b) Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n :
v(n+1) = [u(n)+v(n)]/2
c) En remarquant que la quantité de vin contenue dans l’ensemble des deux verres n’est pas modifiée à chaque étapes, démontrer que, pour tout entier naturel n :
v(n) = 1-2u(n)
d) En déduire les 10 premiers termes de chacune des suites u et v.
2°a) Démontrer que la suite u vérifie une relation de récurrence de la forme :
u(n+1) = f(u(n))
, où f est une fonction affine que ‘on précisera.
b) Représenter graphiquement les 1er termes de la suites u en utilisant la droite représentant la fonction affine f.
c) Quelle propriété de la fonctions f permet de justifier que, pour tout entier naturel :
u(n)<1/3
d) En déduire que, pour tout entier naturel n,
u(n) < v(n)
3° Soit w la suite définie sur N par w(n) = u(n+1) – u(n)
a)Démontrer que, pour tout entier naturel n,
w(n+1) = [w(n)]/4
En déduire, pour tout entier naturel n, l’expression de w(n) en fonction de n.
b) Déterminer le sens de variation des suites u et v.
4° Soit p la suite définie sur N par p (n) = [u(n)]/[v(n)]
a) Calculer les dix premiers termes de la suite p.
b) Quel est le sens de variation de la suite p.
c) Répondre a la question B.
j'ai déja commencé à resoudre le 1°a), mais je ne comprend pas la question.... c'est la DEATH.
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