[L1 Analyse] Continuité

[invite811963fc]

Bonjour à tous,

j'ai un peu cherché dans le forum, mais je n'ai pas trouvé de réponse à mes questions, donc je les pose ici :


Premièrement, on me demande de prouver que les deux affirmations sont vraies ou fausses :
Pour tout y dans R il existe une suite de nombres rationels (qn) telle que qn -> y et qn > qn+1 pour tout n dans N.

Pour tout y dans R il existe une suite de nombres irrationels (qn) telle que qn -> y et qn > qn+1 pour tout n dans N.

On sait que pour tout y il existe une suite rationelle d'une part, et une irrationelle d'autre part qui convergent toutes deux vers y.
Néanmoins, je ne sais pas comment prouver que l'affirmation (je suis à peu près persuadé que c'est vrai). J'avais pensé à utiliser -(qn), mais j'arrive juste à prouver que
"Pour tout y dans R il n'existe pas une suite de nombres rationels (qn) telle que qn -> y et qn > qn+1 pour tout n dans N." est faux (ce qui ne résout pas le problème).


Et la deuxième question sur laquelle je bloque : soient f, g des fonctions continues [0, 1] -> R. On a f(0) >= g(0) and that
f(1) <= g(1). Provezqu'il y a un xo dans [0, 1] tel que f(xo) = g(xo).

Bon, graphiquement c'est complètement évident, mais j'essaie de prouver avec les définitions.
On a, vu que les fonctions sont continues, [f(o), f(1)] compris dans im(g). Pour tout y compris entre f(o) et f(1), il existe donc au moins un duo x1 x2 tel que f(x1) = g(x2) = y. Mais il faut prouver que au moins un de ces duo est de la forme x1 = x2, ce que je n'arrive pas à faire. Je pensais utiliser une contradiction, en supposant que ce n'est jamais le cas, mais je ne trouve qu'une interprétation graphique à faire (genre "si on n'a jamais çà, g passe jamais au dessus de f), mais ça ne me semble pas très rigoureux

Voilà, merci d'avance et bonne journée
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Pour tout y dans R il existe une suite de nombres rationels (qn) telle que qn -> y et qn > qn+1 pour tout n dans N.

Il suffit de prendre pour un arrondi bien choisi de avec chiffres après la virgule. Par exemple pour la suite suivante convient presque (elle n'est pas strictement décroissante) :

4
3,2
3,15
3,142
3,1416
3,14160
3,141593
...

(on peut exprimer en fonction de en utilisant la fonction partie entière)

Et la deuxième question sur laquelle je bloque : soient f, g des fonctions continues [0, 1] -> R. On a f(0) >= g(0) and that
f(1) <= g(1). Provezqu'il y a un xo dans [0, 1] tel que f(xo) = g(xo).

Intéresse-toi à la fonction .

[invite811963fc]

Salut,

Il suffit de prendre pour un arrondi bien choisi de avec chiffres après la virgule. Par exemple pour la suite suivante convient presque (elle n'est pas strictement décroissante) :

4
3,2
3,15
3,142
3,1416
3,14160
3,141593
...

(on peut exprimer en fonction de en utilisant la fonction partie entière)

Intéresse-toi à la fonction .

Merci pour ta réponse

Pour la deuxième question, c'est con de ma part vu qu'on a fait un exo similaire que j'ai immédiatement résolu en TD.....


La suite que tu m'as donnée pour la première question ressemble à un+1 = un - 10^(-n)xE(un) nan? (pas exactement ça, mais dans l'idée)

Ah priori tous les éléments d'une telle suite sont rationels nan? (cf la relation que j'ai donnée)

Et pour le cas où la séquence est irrationelle, je peux tout simplement prendre un = (y - 1) + 2^(1/n) ou pas?

[Flyingsquirrel]

La suite que tu m'as donnée pour la première question ressemble à un+1 = un - 10^(-n)xE(un) nan? (pas exactement ça, mais dans l'idée)

Le terme général de la suite donnée dans le deuxième message est .

Et pour le cas où la séquence est irrationelle, je peux tout simplement prendre un = (y - 1) + 2^(1/n) ou pas?

Oui.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite811963fc]

Le terme général de la suite donnée dans le deuxième message est .

Et vu que tous les termes de cette suite sont rationnels (facile à prouver), je peux utiliser cette suite comme "réponse absolue"?

Par contre, il reste à prouver que cette suite tend vers y, mais je ne vois pas trop comment faire, bien que ce soit assez intuitif (on n'a pas encore vu la fonction partie entière en cours, alors qu'on l'a faite en Term...)

En tout cas, merci

[Flyingsquirrel]

Et vu que tous les termes de cette suite sont rationnels (facile à prouver), je peux utiliser cette suite comme "réponse absolue"?

Non car elle n'est pas strictement décroissante, elle est seulement décroissante (on peut le voir dans l'exemple que j'ai donné dans mon premier message : 3,1416=3,14160). Pour combler cette lacune il suffit d'ajouter à cette suite une suite strictement décroissante de limite nulle. Par exemple la suite définie par convient (je l'affirme mais il faut le montrer).

Par contre, il reste à prouver que cette suite tend vers y, mais je ne vois pas trop comment faire, bien que ce soit assez intuitif

Comme souvent avec la fonction partie entière on revient à sa définition : on a et l'on peut déduire de ces inéquations un encadrement de puis conclure avec le théorème des gendarmes.

[invite811963fc]

Non car elle n'est pas strictement décroissante, elle est seulement décroissante (on peut le voir dans l'exemple que j'ai donné dans mon premier message : 3,1416=3,14160). Pour combler cette lacune il suffit d'ajouter à cette suite une suite strictement décroissante de limite nulle. Par exemple la suite définie par convient (je l'affirme mais il faut le montrer).

Comme souvent avec la fonction partie entière on revient à sa définition : on a et l'on peut déduire de ces inéquations un encadrement de puis conclure avec le théorème des gendarmes.

Désolé de pas avoir répondu plus tôt, mais merci beaucoup pour ton aide