Images d'applications linéaires (urgent)

[invite6bfc1dc6]

Bonjour

je suis nouveau sur ce forum, j'espère poser ma question au bon endroit.

Alors voila, j'étudie les applications linéaires en cours et j'ai a peu près compris comment ça fonctionnait, comment trouver la matrice d'applicaiton, comment trouver le noyau. Mais je n'arrive pas à comprendre comment trouver les images. Sur ce forum j'ai cru trouver une technique mais je n'arrive pas à la faire fonctionner dans mes execrices, par exemple

"soit F un endomorphisme de R3 donné par la matrice:

0 0 0
-2 1 0
2 -1 0

déterminer noyau et image"

Je me doute bien que ça doit pas être sorcier, ker(F) = <(1;2;0);(0;0;1>, ça pas de problème, j'égale les lignes la matrice d'applicaiton à zéro.

Maintenant pour les images, au-cune idée de comment procéder, je connais uniquement la réponse: Im(F) = <(0;-1;1)>, j'ai eu beau retourner le problème dans tous les sens, pas moyen, de manière générale je ne sais pas comment trouver Im d'une fonction...

Le controle approchant à grands pas, j'ai vraiment besoin d'aide svp

Cordialement
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[invite34b13e1b]

tu peux donner une base de f(R3): (e1,e2) ;en notant e1 e2 et e3 les vecteurs colonnes de ta matrice.

[sylvainc2]

L'image d'une matrice représentative d'une application linéaire, c'est simplement l'espace vectoriel généré par les vecteurs colonnes de la matrice. Donc tu cherches les colonnes qui sont libres. Pour cela, tu peux faire un pivot de Gauss sur ces colonnes, celles qui restent non nulles à la fin forment une base de l'image.

Dans ton exemple, pas besoin de pivot de gauss, c'est facile: la 3e colonne est nulle, et la 1ere = -2 fois la 2e. Donc il y a seulement 1 colonne libre. Tu peux prendre le vecteur (0,-2,2) ou (0,1,-1), ou une combinaison linéaire de ceux-ci.

[invite34b13e1b]

oups, j'avais pas fait attention au fait que les deux premiers vecteurs colonnes sont colinéaires...

Mais le principe reste la: donner une base de f(R3).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6bfc1dc6]

Merci je crois que je commence à comprendre, mais j'ai l'impression que suivant l'exercice c'est jamais la même méthode!

Par exemple pour cet exercice



je transpose la matrice de transformation des bases e1 et e2 et je resous une equation simple pour obtenir la 3eme colonne de la matrice qui me donne

2 1 -1
-1 -1 0 (c'est juste par ailleurs..)

Ker pas trop de probleme <(1:-1:1)>

et Im ça se complique... après ce que vous m'avez dit j'aurais tenté d'utiliser le pivot de gauss pour
2x-y =
x-y =
-x =

mais il ne me semble pas que ce soit la bonne méthode... d'autant que la réponse c'est Im(h)= F

au secours..

[invite6bfc1dc6]

Merci je crois que je commence à comprendre, mais j'ai l'impression que suivant l'exercice c'est jamais la même méthode!

Par exemple pour cet exercice

[img=http://img195.imageshack.us/img195/9052/scan100301q.jpg]

je transpose la matrice de transformation des bases e1 et e2 et je resous une equation simple pour obtenir la 3eme colonne de la matrice qui me donne

2 1 -1
-1 -1 0 (c'est juste par ailleurs..)

Ker pas trop de probleme <(1:-1:1)>

et Im ça se complique... après ce que vous m'avez dit j'aurais tenté d'utiliser le pivot de gauss pour
2x-y =
x-y =
-x =

mais il ne me semble pas que ce soit la bonne méthode... d'autant que la réponse c'est Im(h)= F

au secours..

[invite34b13e1b]

salut,
dim(F)=2
et rg(Mat(h))=2
dc ton image est F.