Problème de groupes

[invitef079b53b]

Bonsoir,
je planche sur un exercice concernant les groupes et je n'ai aucun point de départ ....
Voilà l'animal :
Soit G un groupe et H un sous-groupe de G d'indice infini. On suppose qu'il existe L1, ..., Lp des sous-groupes de G tels que G=H(union)L1(union)...(union)L p.
Montrer que G=L1(union)...(union)Lp.
Si vous avez des pistes, n'hésitez pas!!

Autre chose, si vous avez un lien pour apprendre le Latex (un truc du genre Latex pour les nuls) ...
Merci

Erik
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[invite9025c2f3]

tape :

latex filetype:pdf

dans google et tu trouveras pleins de pdf qui t'expliquent comment utiliser latex

Sinon il y a toujours wiki http://fr.wikibooks.org/wiki/LaTeX
Et si t pas reputé par l'anglais tu peux aller sur le site de CTAN il y a un lien documentation

[invitef079b53b]

Bonjour,
je te remercie pour tes liens ....
Sinon personne pour mon problème ???

Erik

[thepasboss]

Bonjour,

Hem est tu sur de ne rien avoir oublié dans la formulation de ton problème ? Ou pourrais-tu le reformuler car là je trouve tout ça assez ambigu, notamment sur le terme infini, à qui fait-il référence ? G ? H ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef079b53b]

Bonjour,
malheureusement nous n'avons aucune hypothèse supplémentaire !
Le terme infini désigne le fait que H est d'indice infini dans G ( ie il existe une suite (x(n)) d'éléments de G deux à deux distincts telle que x(i)H=x(j)H => i=j ).

Cordialement Erik

[thepasboss]

Tiens je ne connaissais pas cette propriété ^^ Merci pour ma culture, je me penche dessus dès que mes partiels m'en laisseront le temps

[invitec317278e]

Je ne connais pas le terme d'indice infini, et les choses qui en découlent, alors ma réponse sera sans nul doute à côté de la plaque.

Ceci dit, le théorème me fait fortement penser à ce qu'on a pour les EV : si E=F union H, avec E un ev, et F et H des sev, alors, E=F ou E=H.

On doit avoir une propriété similaire pour les groupes ; à partir de là, j'envisagerais une démonstration par récurrence, en considérant le plus petit sous groupe contenant union

C'est ce qui me vient immédiatement à l'esprit, mais encore une fois, c'est sans chercher à comprendre ce que la notion d'indice infini est et peut dissimuler.

[invitec317278e]

En tout cas, une chose me parait sûre : on peut se ramener à la démonstration du cas p=1 :

Supposons en effet que la démonstration dans le cas p=1 ait été faite, alors,

soit G un groupe, H un sous groupe d'indice infini, tq union L1 union ... union Lp.

Alors, considérant le plus petit sous groupe G' contenant union ... union , on a G=H union G'.

On est ainsi ramené au cas où p=1.

Mais il est tard, la fatigue se fait sentir...

[invite57a1e779]

Bonsoir Thorin

C'est bien pensé, mais le problème est que ton résultat tombe en défaut avec trois sous-espaces vectoriels : on peut très bien avoir avec trois sous-espaces vectoriels stricts de .

Quelque part, l'analogue de « est un sous-groupe d'indice infini» serait « est un sous-espace vectoriel de codimension infinie».

[invitec317278e]

Bon mon message de 23h48 est une absurdité.

le problème est que ton résultat tombe en défaut avec trois sous-espaces vectoriels : on peut très bien avoir avec trois sous-espaces vectoriels stricts de .

Dommage...
Mais du coup, je vais essayer de trouver 3 sev stricts dont l'union vaut l'espace,ça n'a pas l'air trivial.

Bonne nuit.

[invite57a1e779]

ça n'a pas l'air trivial

Il faut penser aux espaces vectoriels sur les corps finis.

[thepasboss]

Fiouuuu la nuit m'a, je crois, porté conseil.
Il me semble avoir trouvé une démonstration de la propriété, et même si elle me parait lourde, je n'ai pas eu de meilleure idée ! Je la livre par étape sous balise "spoil" au cas où.

Introduction :

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On va déjà remarquer que la suite ne peut avoir au plus qu'un élément dans H. Par suite il existe une infinité de terme de cette suite qui sont dans , et pas dans H. Donc il existe un indice tel que contienne une infinité de terme de la suite qui ne sont pas dans H. On note la suite formée de cette infinité de termes.

Début de la démonstration proprement dites :

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On va raisonner par l'absurde, c'est à dire qu'on va supposer qu'il existe un y appartenant à H mais qui ne soit pas dans A. S'en suit une division en cas.

1er cas :

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On va alors construire une suite d'élément de G qui n'est pas dans HUA, ce qui est impossible.
On considère la suite . Montrons que cette suite ne peut être dans H ni dans
Si il existe n tel que , alors ce qui est impossible.
Si il existe n tel que , alors ce qui est impossible.
Donc la suite appartient à G privé de H et de , et donc il existe un indice r2 différent de r1 tel que contienne une infinité de terme de la suite. On pose une suite formée de telles termes.

Alors on considère une nouvelle suite et on montre à nouveau que cette suite ne peut être ni dans H, ni dans Lr2, ni dans Lr1 (grace à l'hypothèse du cas 1). On construit ainsi une nouvelle suite qui sera dans un Lr3, et ainsi de suite... On peut rédiger sous la forme d'une récurrence finie je pense, mais pas le courage de rédiger à nouveau mon propos juste après mangé.

Ainsi on arrive au bout de p étapes, à une suite de G ne se trouvant nulle part, d'où la contradiction.

2 ème cas :

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tel que

On va alors considérer deux petits lemmes

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des entiers tous supérieur ou égale à deux, alors si on prend r leur ppcm, et a le plus petit de ces entiers, il existe un v entier entre a et r tel que a + ur ne soit multiple d'aucun ai, pour tout u plus grand que 0.

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Il existe q et r des entiers supérieurs ou égal à 2 tels que :
Pour tout i entier, n'appartient pas à A, et si une puissance de y est dans un , alors est dans

Bon il est déjà 13h10, et je dois aller à mon partiel, je posterai donc la suite ce soir vers 18 heures. Si quelqu'un en attendant pouvait vérifier que je ne raconte pas n'importe quoi ça serait chouette ^^

[invitef079b53b]

Bonjour,
je ne vois pas d'objections pour le moment ...

Merci pour vos réponses !!

[thepasboss]

Petit problème, je me rend compte que j'ai implicitement supposé que y était d'ordre infini. Il faut donc que je revois ma démonstration pour savoir si je peux rectifier le tir ou bien rajouter un nouveau cas.

[thepasboss]

Bon et bien non, ma démarche est valable si y est d'ordre infini, mais je n'arrive pas à débloquer le cas ou y est d'ordre fini (notamment quand y est d'ordre 2, sinon il me semble qu'on peut encore s'arranger, enfin bon). Il me faut donc changer de méthode...

Bon sinon pour l'autre truc il suffit simplement de s'inspirer du cas précédent pour construire de nouveaux une suite d'élément de G qui n'est pas dans G, je te laisse chercher.