Groupe/Anneau

invite8d54258a · 22/12/2009, 01h00

Bonsoir, j'essaye de prouver que (i) $\text{[math]}$ est un anneau et que (ii) $\text{[math]}$ est un groupe multiplicatif.
Alors via les axiomes :
(i) On va prouver que c'est une sous-anneau de $\text{[math]}$ ; il faut montrer la stabilité pour $\text{[math]}$ , pour $\text{[math]}$ et qu'il contient le neutre

(ii) Ici, il faut montrer qu'il contient l'élément neutre et que $\text{[math]}$ .

Êtes-vous d'accord ?
Maintenant, je me demande s'il n'existe pas des méthodes beaucoup plus rapide, sur cet exemple bien sûr ?

**Flyingsquirrel** · 22/12/2009, 09h53

Salut,

Envoyé par Leonhardo

(i) On va prouver que c'est une sous-anneau de $\text{[math]}$ ; il faut montrer la stabilité pour $\text{[math]}$ , pour $\text{[math]}$ et qu'il contient le neutre

Ne pas oublier de montrer que si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ .

Envoyé par Leonhardo

(ii) Ici, il faut montrer qu'il contient l'élément neutre et que $\text{[math]}$ .

D'accord.

Envoyé par Leonhardo

Maintenant, je me demande s'il n'existe pas des méthodes beaucoup plus rapide, sur cet exemple bien sûr ?

Je ne vois pas. Ceci dit, tu as fait le plus dur, vérifier que toutes les propriétés énoncées sont vraies est très facile.

**Médiat** · 22/12/2009, 09h56

Envoyé par Leonhardo

(ii) Ici, il faut montrer qu'il contient l'élément neutre et que $\text{[math]}$ .

Un tout petit peu plus simple : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Mais en pratique, montrer "non vide" se fait généralement très facilement avec le neutre.

invite8d54258a · 22/12/2009, 11h15

Bonjour, au début j'avais pensé au noyau d'un certain morphisme, mais je suis plus certain de ce résultat. De même, il semblerait que les inversibles d'un anneau forment toujours un groupe multiplicatif ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite8d54258a · 22/12/2009, 22h04

Re bonsoir, juste pour la méthode directe, pas de problème sur le fait que $\text{[math]}$ est un sous-anneau de $\text{[math]}$ (car $\text{[math]}$ est un anneau).

Par contre, pour prouver que $\text{[math]}$ est un groupe multiplicatif, j'ai dit que l'on avait bien $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ .
Il reste donc à prouver que $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ est inversible. Le quotient est bien différent de zéro car les deux matrices en jeu sont inversibles. On a donc le résultat voulu.

Qu'en pensez-vous ?

**Flyingsquirrel** · 23/12/2009, 09h36

Envoyé par Leonhardo

au début j'avais pensé au noyau d'un certain morphisme, mais je suis plus certain de ce résultat.

Si, ça marche (le noyau d'un morphisme de groupes est un groupe (distingué), le noyau d'un morphisme d'anneaux est un idéal bilatère, donc un anneau), mais encore faut-il trouver un morphisme qui convienne.

Envoyé par Leonhardo

De même, il semblerait que les inversibles d'un anneau forment toujours un groupe multiplicatif ?

Oui. Il suffit de vérifier que

1 est inversible ;
si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ le sont alors $\text{[math]}$ l'est aussi;

(les autres propriétés découlent du fait que le produit est la seconde loi d'un anneau).

Si tu as le droit d'utiliser cette propriété tu peux conclure directement pour $\text{[math]}$ .

Envoyé par Leonhardo

Par contre, pour prouver que $\text{[math]}$ est un groupe multiplicatif, j'ai dit que l'on avait bien $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ .
Il reste donc à prouver que $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ est inversible. Le quotient est bien différent de zéro car les deux matrices en jeu sont inversibles. On a donc le résultat voulu.

Oui et tout ça est correct car l'identité et $\text{[math]}$ sont à coefficients entiers. Plutôt que d'utiliser le déterminant tu pourrais même donner explicitement l'inverse de $\text{[math]}$ : il s'agit de $\text{[math]}$ .

invite8d54258a · 23/12/2009, 10h44

J'ai regardé un peu sur Google, mais je crois pas qu'on puisse trouver un tel morphisme $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . Par contre, merci pour la preuve sans les déterminants! C'est beaucoup plus simple d'en exhiber un inverse!

Sinon, pour aller plus loin, quand est-il de $\text{[math]}$ ? Cette fois, si $\text{[math]}$ , alors il semble que l'on ait $\text{[math]}$ . Dans ce cas, on peut conclure directement que $\text{[math]}$ est un groupe ?

**Flyingsquirrel** · 23/12/2009, 11h03

Envoyé par Leonhardo

Dans ce cas, on peut conclure directement que $\text{[math]}$ est un groupe ?

Oui et c'est correct car l'application $\text{[math]}$ est bien un morphisme de groupes.

invite8d54258a · 23/12/2009, 11h42

Merci bien.

**taladris** · 23/12/2009, 12h50

Bonjour,

Envoyé par Leonhardo

Re bonsoir, juste pour la méthode directe, pas de problème sur le fait que $\text{[math]}$ est un sous-anneau de $\text{[math]}$ (car $\text{[math]}$ est un anneau).

Par contre, pour prouver que $\text{[math]}$ est un groupe multiplicatif, j'ai dit que l'on avait bien $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ .
Il reste donc à prouver que $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ est inversible. Le quotient est bien différent de zéro car les deux matrices en jeu sont inversibles. On a donc le résultat voulu.

Qu'en pensez-vous ?

une chose me gêne dans la démonstration: ne faut-il pas démontrer que $\text{[math]}$ (i.e que ses coefficients sont entiers) ?.
A priori, $\text{[math]}$ désigne l'inverse de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ donc ses coefficients sont réels.

Cordialement

**Flyingsquirrel** · 23/12/2009, 13h11

Envoyé par taladris

A priori, $\text{[math]}$ désigne l'inverse de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ donc ses coefficients sont réels.

Ça ne fait pas partie de la définition de $\text{[math]}$ le fait que $\text{[math]}$ soit à coefficients entiers ? Quand on dit que $\text{[math]}$ est inversible (c-à-d $\text{[math]}$ ), cela signifie qu'il existe une (unique) matrice $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ . Non ?

invitea4377e7f · 23/12/2009, 15h24

Si, ça marche (le noyau d'un morphisme de groupes est un groupe (distingué), le noyau d'un morphisme d'anneaux est un idéal bilatère, donc un anneau), mais encore faut-il trouver un morphisme qui convienne.

Heu un idéal c'est rarement un sous anneau... s'il contient le neutre il est trivial!

Pour le reste il faut quand meme prouver que le produit de deux matrices a coeff entier est a coeff entier.

Sinon il est possible de trouver un morphisme de GL(2,R) dans un autre groupe tel que GL(2,Z) soit le noyau.
Par exemple GL(2,R)->GL(2,R)/GL(2,Z)

**Flyingsquirrel** · 23/12/2009, 15h46

Envoyé par mathemagic

Heu un idéal c'est rarement un sous anneau... s'il contient le neutre il est trivial!

Oui c'est vrai, j'ai oublié qu'un sous-anneau doit contenir 1.

**taladris** · 23/12/2009, 16h05

Envoyé par Flyingsquirrel

Ça ne fait pas partie de la définition de $\text{[math]}$ le fait que $\text{[math]}$ soit à coefficients entiers ? Quand on dit que $\text{[math]}$ est inversible (c-à-d $\text{[math]}$ ), cela signifie qu'il existe une (unique) matrice $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ . Non ?

Oui, mais dire que $\text{[math]}$ est dans $\text{[math]}$ en regardant uniquement si son déterminant est non nul (*) me parait insuffisant. Par exemple, le déterminant de $\text{[math]}$ est non nul, mais $\text{[math]}$ n'est pas élément de $\text{[math]}$ .

Cordialement

(*) en fait, il faut qu'il soit égal à 1 ici.

invite57a1e779 · 23/12/2009, 16h15

Les éléments de $\text{[math]}$ sont les éléments de $\text{[math]}$ dont le déterminant est inversibles dans $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ .

invite57a1e779 · 23/12/2009, 16h18

Envoyé par mathemagic

Sinon il est possible de trouver un morphisme de GL(2,R) dans un autre groupe tel que GL(2,Z) soit le noyau.
Par exemple GL(2,R)->GL(2,R)/GL(2,Z)

Se servir du groupe quotient GL(2,R)/GL(2,Z) pour prouver que GL(2,Z) est un groupe me semble relever du cercle vicieux.

invitea4377e7f · 23/12/2009, 16h34

Envoyé par God's Breath

Se servir du groupe quotient GL(2,R)/GL(2,Z) pour prouver que GL(2,Z) est un groupe me semble relever du cercle vicieux.

D'où le "

"

invite8d54258a · 23/12/2009, 16h56

Bonjour à tous, je n'ai pas vraiment saisi la subtilité dans le message de taladris à 13h50, quelqu'un peut-il m'expliquer ? Merci!

invite57a1e779 · 23/12/2009, 17h00

La réponse est dans mon message de 17h15 : si $\text{[math]}$ est élément de $\text{[math]}$ , une condition nécessaire et suffisante pour que $\text{[math]}$ soit élément de $\text{[math]}$ n'est pas $\text{[math]}$ , mais $\text{[math]}$ .

invite8d54258a · 23/12/2009, 17h06

Oui, mais c'est la question qui suit ça! Lol! Je crois qu'il ne faut donc pas s'en servir.

invite57a1e779 · 23/12/2009, 17h17

Une fois établi que $\text{[math]}$ est un anneau, il en découle immédiatement que $\text{[math]}$ , qui est l'ensemble des éléments inversibles d'un anneau, est un groupe multiplicatif.

En effet :
– $\text{[math]}$ est non vide puisque $\text{[math]}$ lui appartient ;
– si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont éléments de $\text{[math]}$ , ce sont des éléments inversibles de $\text{[math]}$ , c'est-à-dire que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont éléments de $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ également, ce qui prouve que $\text{[math]}$ est un élément inversible de $\text{[math]}$ , et on a établi que $\text{[math]}$ appartient à $\text{[math]}$ .

invite8d54258a · 24/12/2009, 14h26

Donc en fait, la remarque de taladris c'était qu'a priori on ne savait pas que $\text{[math]}$ était dans $\text{[math]}$ , mais vu que c'est un anneau, c'est immédiat ?

Par ailleurs, ça n'a rien à voir, mais je viens de tomber sur un pdf qui décrit l'ensemble :

$\text{[math]}$

où $\text{[math]}$ . Alors on dit que c'est un sous-groupe de $\text{[math]}$ et que $\text{[math]}$ .

Les groupes ont l'air intimement liés!

invite57a1e779 · 24/12/2009, 16h01

Bonjour,

La remarque de taladris soulevait le problème suivant : la condition $\text{[math]}$ assure l'inversibilité de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , mais pas dans $\text{[math]}$ .

Son exemple avec $\text{[math]}$ est particulièrement clair : le déterminant est non nul, donc $\text{[math]}$ est inversible dans $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ , mais $\text{[math]}$ n'est pas inversible dans $\text{[math]}$ .

Le raisonnement qui utilise la caractérisation par non-nullité du déterminant est faux.

Par contre, dès que $\text{[math]}$ est inversible dans $\text{[math]}$ , la relation $\text{[math]}$ est immédiate puisque l'on multiplie deux éléments de l'anneau $\text{[math]}$ .

invite8d54258a · 24/12/2009, 19h19

Ok, j'ai bien compris maintenant

A propos de $\text{[math]}$ , quel lien est-il avec $\text{[math]}$ ?

invite986312212 · 24/12/2009, 22h35

Envoyé par Leonhardo

Ok, j'ai bien compris maintenant

A propos de $\text{[math]}$ , quel lien est-il avec $\text{[math]}$ ?

Sp est un sous-groupe de SL

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