proglongement par continuité

[inviteef81cd06]

bonsoir à tous et à toutes
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j'ai un petit exercice que j'ai presque résolu mais il me reste un petit point à regler.merci de bien vouloir m'aider sur la derniere question.

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[Universus]

Pour , . Puisque est un produit et composition de fonction dérivable sur , il en va de même pour . Reste le cas où on veut savoir si est dérivable en x=0. Pour ce faire, il faut repartir de la définition d'une dérivée qui, appliquée ici, donne :



En fait, j'ai une faute parce que je ne sais pas si la limite existe encore, donc je ne peux pas écrire l'égalité plus haute. Néanmoins, si elle existe, l'égalité est bonne et tu auras démontrer que la dérivée de f' existe partout. Pour montrer la continuité, c'est la même chose : la dérivée de f est continue (puisque produit et composition et somme de fonctions continues) sur les réels autres que 0, il en va donc de même pour f'. Reste à voir si la dérivée de f' est continue en 0.

[inviteef81cd06]

[inviteef81cd06]

merci , j'ai oublier de le dire
mais ce n'est pas terminé je crois; il faut q'on calcule la limite

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

je crois que doit yavoir quelque part une confusion entre la dérivée de f, notée habituellement , et la nouvelle fonction, prolongée de f par continuité, notée aussi dans ce cas.

la limite à calculer ici, pour montrer que la prolongée est dérivable en 0, c'est (x²cos(1/x))/x, ce qui est simple.