Equation Fonctionnelle // Différentielle

[invitebe08d051]

Bonsoir

Voici une équation différentielle qui me pose un problème:

Trouver toutes les fonctions dérivables sur tel que: .

J'avoue que c'est pas aussi facile que ça en a l'air....

De ma part, j'ai essayer de dériver, intégrer composer....mais en vain.

Un résultat intéressant est qu'on peut montrer que si est solution du problème alors est sur .
Intuitivement, il vient que seul la fonction nulle sur est solution reste à le montrer.

J'ai essayé un raisonnement par absurde en utilisant des arguments d'analyse mais rien...

Toutes propositions est la bienvenue.

Je vous remercie.
Mimo
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[Warning]

Salut

Sur R, tu peux remarquer que cela revient à résoudre:


Il te reste alors à intégrer: pour trouver f de la forme f = 1 / (a-x) pour tout x différent de a.

[Universus]

Salut Warning,

Je pense que tu as mal interprété la notation utilisée par mimo13 ; le problème est, énoncé autrement :

Trouver toutes les fonctions dérivables sur telles que ,

Ta solution serait bonne s'il ne s'agissait pas d'une composition de f avec f, mais d'une multiplication de f avec f (i.e. si on avait ).

[invitebe08d051]

Salut

Sur R, tu peux remarquer que cela revient à résoudre:


Il te reste alors à intégrer: pour trouver f de la forme f = 1 / (a-x) pour tout x différent de a.

Je ne peut qu'appuyer ce qu'a dit Universus.
Le cas que tu propose est très simple en revanche.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe08d051]

Je me permet un petit up...

[Universus]

Bon, je ne sais pas si c'est parce que ce problème est trop simple pour intéresser les gens d'ici ou trop difficile parmi l'ensemble des problèmes somme toute faciles (parce que j'imagine fortement que la solution n'est pas si ardue que cela, mais bon malheureusement je ne la vois pas), mais bon je me permets un peu de 'rafraîchir' ce fil en exposant les minces conclusions auxquelles je suis venues. J'espère que cela donnera de l'intérêt à d'autres de se pencher sur le problème et de palier mes manques ou de me montrer comment il faut vraiment partir le problème au lieu de se perdre comme je le fais ^^.

Comme l'a fait remarqué mimo13, la fonction est infiniment dérivable sur son domaine. De plus, on peut montrer que où sont des fonctions dont l'expression explicite ne m'intéresse pas pour ce que j'ai à dire. En effet, et, supposant qu'on a vérifié la relation pour tout , on a . Cela implique donc que si pour un certain x on a , alors toutes les dérivées d'ordre supérieure de évaluées en ce point sont aussi nulles (oui, il faut vérifier que les ne divergent pas). De plus, l'existence d'un tel que implique l'existence d'un tel que (suffit de prendre ).

Ainsi, si est une fonction analytique, on a . Prenant , on en déduit que et donc, identiquement. Je ne suis pas parvenu à généraliser ce résultat aux fonctions non analytiques ou à montrer que doit être analytique.

Il suffit donc dans le cas des fonctions analytiques de montrer qu'il existe au moins un tel et au moins un tel (on a vu que l'existence du premier implique celle de l'autre, mais le contraire n'est pas nécessairement vrai).

Supposons qu'il existe et () tel que . Puisque est dérivable, elle est continue et tout ceci nous permet par le théorème de Rolle de dire qu'il existe tel que . Bref, par suite, on en déduit que .

S'il n'existe pas de tels et , alors est monotone strictement croissante ou strictement décroissante. Cela implique qu'il n'existe pas non plus de et distincts tels que , donc est aussi strictement croissante ou décroissante (la tendance étant la même que celle de ). Ainsi, il n'existe pas tel que . De plus, n'est pas bornée (puisqu'il faudrait que et donc, puisque est continue (étant existante), elle atteindrait un extremum et il existerait deux points ayant la même valeur de ).

Si n'est pas bornée du tout (ni supérieurement, ni inférieurement), par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe tel que . Or, le théorème des valeurs intermédiaires nous dit encore que . Cela étant une contradiction, il ne reste que le cas où ne possède qu'un et qu'une seule borne.

Soit l'extremum de la fonction. est une asymptote horizontale de telle que . Cela implique aussi que le signe de est une constante, ce qui conduit à . Ce que cela nous dit, , mais . On ne peut donc pas utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour trouver un qui soit fini.

Je ne suis néanmoins pas parvenu à extirper quoique ce soit de ceci (à part une petite condition sur s dans le cas de f croissante) ; c'est qu'on peut fabriquer une fonction f satisfaisant toutes ces conditions, mais c'est que dans toutes ces conditions, bien que découlant du fait que fof = f', ne sont pas nécessairement uniquement impliquées par fof = f' et donc, jusqu'à date, je ne suis pas parvenu à aucune contradiction dans ce cas. Si on le pouvait, on aurait trouver que de toutes les fonctions analytiques, seule f=0 fonctionne.

Bref, beaucoup de chose et de cassage de tête pour finalement encore bien peu.

[Universus]

Bon bon, on peut montrer dans le cas où j'ai terminé que n'est pas décroissante.

J'ai oublié d'expliciter qu'on obtient . Que f soit croissante ou décroissante, on en déduit que . Considérons le cas décroissant, . Supposons que ; on a . Cela est une contradiction, puisque si f est décroissante, on a montré que la dérivée est négative (i.e. ). Donc il faut que . Or, cela est impossible puisque (l'inégalité est stricte puisqu'on considère des cas où est injective). Donc f n'est pas décroissante.

Bien que je ne sache pas si c'est utile, pour le cas croissant, en utilisant le théorème de la moyenne entre et 0, on peut déduire par quelques considérations que .