Calcul différentiel

[invite5b4ccdf4]

Bonjour

Je suis bloqué dans l'exercice si dessous depuis plus de 3 heures! et là je sèche vraiment, voici l'énoncée:

E = C([a,b]), l'espace vectoriel des application : continues sur [a,b]

Soit une application de classe C¹.

Soit


montrer que est différentiable et calculer sa différentielle.

En fait il me semble qu'on a laisser tomber pas mal de notions en classe (faute de temps).
Ce que je demande donc c'est juste les notions necessaires à la résoluion de cet exercice, pour que je puisse avancer.

votre aide sera vraiment très apprécié !
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[Arkhnor]

Bonjour.

Tu dois montrer que pour tout , est différentiable en , c'est à dire qu'il existe (application linéaire continue) telle que , pour tout .

La première étape, c'est de déterminer la différentielle , et ensuite de démontrer qu'on a la relation ci-dessus.

Pour ça, il faut calculer , et dégager un terme linéaire en , et un autre qui va être négligeable par rapport à .

Je te laisse y réfléchir un peu.

PS : Tu n'as pas précisé de quelle norme tu munissais E, mais je suppose que c'est la norme de la convergence uniforme ...

[invite5b4ccdf4]

Merci pour ton aide

oui en fait j'ai oublié de donner la norme qui est bien la norme de la convergence uniforme :



merci pour votre réponse, en attendant j'essaie d'avancer sur tes pistes

[invite5b4ccdf4]

Voici ce que j'ai pu faire jusqu'à maintenant:

.

.

or on a .

donc

voilà ici je bloque, y'a-t-il un moyen pour se debarrasser du x ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Arkhnor]

Il va falloir raisonner un peu plus finement pour aboutir.

Mais au point où tu en es, tu dois déjà avoir une idée de la différentielle de , ce qui doit te montrer quelle quantité on doit majorer.

[invite5b4ccdf4]

Bon je reprend mon raisonnement de tout à l'heure, en attendant votre confirmation ou votre correction encas d'erreur :

.



maintenant il nous faut démontrer que :
1- (j'espère que mon utilisation de la notation "." est bonne).
Il nous faut donc démontrer que est L linéaire ce qui ne pose aucun problème L sera la différentielle cherchée.

2- il faut démontrer que :



pour 1- la démo est assez simple je vais poster donc la démo de 2- en espérant avoir votre confirmation/correction:
______________________________ _______________



soit

j'ai mis le h en indice pour dire que X dépend de h.

on a donc :



de plus on a :

Voilà on déduit de (1) et (2) que


est-ce-correcte??

[invite5b4ccdf4]

j'ai oublié de dire dès le début g(x) = o(x) pour

[Arkhnor]

Il faut aussi vérifier que est continue, en plus d'être linéaire, mais ça ne pose pas de problème non plus.
Ici, le point est la multiplication dans .

Je ne comprends pas très bien ta démo, et si tu dis , cela signifie que tu travailles avec (et avec ) fixé, or après tu fais tendre vers 0 ...

Et tu oublies les valeurs absolues dans la définition de la norme uniforme.

On doit montrer que , c'est à dire que pour tout , il existe tel que implique que , soit encore :
, .

En appliquant le TAF à la fonction , essaye de parvenir à cette majoration. (la compacité de risque de nous être utile)

Ma solution n'est peut-être pas la plus courte, mais je n'en vois pas d'autre ...

[invite5b4ccdf4]

Pour les valeurs absolue dans la definition de la noreme uniforme, c'était juste une faute d'inattention, mais j'ai bien travaillé avec les valeurs avbsolues dans ma démo.

- pour la continuité de L, vous avez raison je vais y réfléchir.

- pour cette partie de la démo :

Vous avez tout à fait raison en fait je me suis mal exprimé, je reprend ma démo à partir de cette erreur, voilà ce que ca donne:

est-ce correcte maintenant?

[invite5b4ccdf4]

Encore plus proprement:

[invite5b4ccdf4]

ou alors, la version finale :

[invite5b4ccdf4]

Bon, je laisse tomber ma démo, c'est pas trop du math ce que j'écrit enfin de compte .

Je viens de relire ton dernier poste, ca parait vraiment interessant et beaucoup plus logique ce que t'as ecrit.

sauf que avant de suivre ton idée y'a un truc, que j'arrive pas à comprende. Dans la dernière expression que t'as écrit, t'as mis . h(x) est un réel qui multiplie qui est une application linéaire donc un vecteur ce qui donne en tout un vecteur relié par un moin avec des réels !

tu voulais peut être ecrire ??

Suis-je entrain de confondre les choses??

[Arkhnor]

Salut.

Désolé de ne pas avoir répondu plus tôt.

Je ne comprends pas vraiment ta démo, et certains passages sont obscurs. (dont celui que j'ai souligné dans mon précédent post)

Pour répondre à ta question, est une fonction de dans .
Donc sa différentielle est une application linéaire de dans .
Or une telle application est uniquement déterminé par une seule valeur, sa valeur en 1, et ça rejoint ce que tu appelais au lycée et en Deug le nombre dérivée.

Quand on a une fonction d'une variable, on identifie très souvent la différentielle avec le nombre dérivé.

Donc ici, est un réel.

[invite5b4ccdf4]

vaut mieux tard que jamais , et encore une fois merci beaucoup pour ton aide.

pour le c'est bon. ( est une autre notation de , si j'ai bien compris, cela dit que avec n'existe pas ??)

par ailleur il reste encore 2 trucs qui me sont un peu floux ...

Dans la formule suivante que t'as donné dans ton poste du "01/01/2010 20h43" :





1)Dans la notation ".h", il s'agit de "appliqué" à h, ou "fois" h (multiplication) ??

2) ne sera-t-il pas plus correcte si on écrit au lieu de avec


Je sais que mes questions sont très basiques, mais justement c'est la base du calcul différentielle qui me manque, car ca n'a pas été fait soigneusement en classe.
J'éspère que t'auras la patience et la bonne volonté de répondre à mes questions, j'en serai vraiment reconnaissant .

[invite5b4ccdf4]

Re

Je viens de m'apercevoir que tu m'as répondu dans ton poste du "04/01/2010 20h56", sans me rendre compte, en fait est une application linéaire de , or une application a la fameuse propriété , ce qui donne l'égalité .

Maintenant que j'ai bien compris cet histoire voici la démo qui me semble très logique, sans avoir à utiliser le TAF:

est de classe , donc s'écrit avec avec

soit , et

on obtient donc :

Vu que la continuité et la linéarité de ne posent aucun problème je vais juste démontrer la surlinéarité de :




Cette égalité est vraie en particulier pour le(s) valeur(s) de x qui donne(nt)

d'où

or (cette inégalité est très simple à demontrer)

ainsi on a obtenu:



d'où .

Voilà c'est beaucoup plus correcte à mon sens que ma première démo.

Je tiens à te remercier fort pour ton aide.