Primitive pas facile...

[invite6ac3a3cf]

Salut,

Je dois trouver la primitive de :
(X-2) / (X²+X+1)²

Quelqu'un a une idée?
J'ai essayé de faire apparaître un arctan, mais avec le ² du dénomintateur ça passe pas...

Merci
-----

[invite57a1e779]

Commence par faire le changement de variable pour te ramener à la forme .

On a une primitive immédiate de .

Pour primitiver , le principe est d'intégrer par parties pour faire apparaître avec la dérivée de .

Ce sont les techniques usuelles du calcul des primitives de fractions rationnelles.

[invite6ac3a3cf]

Merci beaucoup!
Je vais essayer ta méthode.
Merci

[invite6fdd4333]

Décompose en élement simple sinon

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6ac3a3cf]

Ben si je le décompose ça sera dans C.
Et il faut qu'on le fasse dans R.

[invite6ac3a3cf]

Par contre je vois pas la primitive de :
Y / (Y²+1)²...
Tu pourrais m'expliquer stp?
Merci

[invite57a1e779]

Quelle est la dérivée de ?

[invite6ac3a3cf]

C'est -2Y/(Y²+1)² ?

[invite57a1e779]

Ce qui fournit facilement une primitive de , donc de .

[invite5150dbce]

Par contre je vois pas la primitive de :
Y / (Y²+1)²...
Tu pourrais m'expliquer stp?
Merci

Tu peux te ramener à la forme -u'/u², ce sera plus immédiat

[invitebe08d051]

Bonsoir,

Je ne vois pas l'intérêt de ton changement de variable God's Breath, on peut suivre le même processus avec la fonction initiale.

En principe c'est toujours la même chose, une primitive de est si et sinon.

C'est notre cas ici, posons alors .
Donc .

Et on continue le même procédé de tout à l'heure.

Cordialement

[invite57a1e779]

Je ne vois pas l'intérêt de ton changement de variable God's Breath

Son seul intérêt est qu'il m'évite d'avoir à réfléchir et à décomposer les numérateurs qui apparaissent dans la base des , et que je n'ai pas besoin de savoir qu'en toute généralité une primitive de est .

En ne mettant pas sous forme canonique, il faut penser à pratiquer l'intégration par parties avec et , d'où (sauf erreur de calculs)



et



C'est effectivement plus rapide, mais cela m'a forcé à une gymnastique de calcul que j'évite en me ramenant systématiquement à des dénominateurs en .

Dans le cas d'une fraction tordue avec plusieurs facteurs irréductibles du second degré, le calcul des seules primitives de est très appréciable.