Equations algébriques

[invite52487760]

Bonjour à tous :
Qu'est ce qui changera , à votre avis , au monde au cas où quelqu'un reussit à resoudre de manière général, les équations algebriques de degré quelconque ?
Est ce qu'il y'a un lien entre les nombres premiers et la résolution des équations algebriques ?
Quels sont les problèmes qui seront definitivement résolu, notemment en physique, si jamais quelqu'un résout les équations algebriques ?
Je sais que d'après Galois, les équations de degré superieur à sont non resolubles par radicaux ! sauf que moi, je me dis souvent que si jamais quelqu'un trouve une methode de resolution à ces equations evidemment pas par radicaux, mais avec d'autres outils nouveux !
Je me souviens une fois quelqu'un m'a parlé de la methode de Newton pour resoudre les équations algebriques et il a dit qu'on a pas besoin de tel algorithme puisque la methode de Newton suffit ! Moi je lui ai repondu ,que je ne pense pas que ce soit un algorithme qui determinent avec exactitude les racines d'un polynome, mais seulement une methode pour approcher à près une valeur qui est proche metriquement d'une racine réelle d'un polynome ! Par contre, pour les racines complexes : on ne peut appliquer la methode de Newton à un quelconque polynome à racines complexes !
Donc, moi, je parle dans un contexte typique de ce qu'est resoudre une equation polynomiale de degré superieur à ? Qu'est ce que celà changera en science ? et est ce que ce sera une vrai révolution sans précédent, à part en physique Newtonnienne qui repose sur la resolution de pas mal d'équations differentielles linéaires à degré quelconque ?
Qu'est ce que vous en pensez ?
Merci d'avance !
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[KerLannais]

Salut

Primo, dès lors qu'on sort du domaine mathématiques (en physique) par exemple, l'exactitude est totalement superflue puisque tout appareil de mesure à une incertitude, en pratique on ne manipule que des nombres décimaux. Avoir un algorithme pour déterminer un réel avec une précision arbitraire est largement suffisant. Au risque de te décevoir, ce genre de découverte n'aurait pratiquement aucune application, si ce n'est peut-être l'obtention d'algorithme plus rapide pour calculer des valeurs approchées, et encore c'est pas sûr. Peut-être aussi des applications en algèbre.

Secondo, La méthode de Newton marche aussi pour les complexes.

Tercio, réfléchis à ce que signifie "résoudre exactement"

On sait d'après le théorème fondamental de l'algèbre (théorème de de d'Alembert-Gauss) que les équations algébriques ont autant de solutions (comptées avec leur multiplicité) que leur degré.

L'idéal serait trouver un système d'écriture utilisant un nombre fini de symbole qui permette d'exprimer chaque nombre algébrique, tel que
1)on ait un algorithme relativement simple pour trouver l'écriture d'une solution d'une équation algébrique
2)on puisse assez facilement trouver l'écriture de la somme de deux nombre algébrique à partir de l'écriture de chaque opérande (idem pour le produit, voire pour l'extraction de radicaux)
3)chaque nombre algébrique admette une écriture canonique (parmi toutes les écritures possible de ce nombre, une écriture privilégiée)
par exemple, pour les rationnelles c'est l'écriture sous forme d'une fraction simplifiée
4)un algorithme permettant de trouver l'écriture canonique d'un nombre algébrique à partir d'une de ses écriture et notamment de dire si une écrture est canonique.
5)avoir un algorithme pour pouvoir calculer une valeur approchée du nombre algébrique à partir de son écriture.
et éventuellement
6)que cette écriture contienne d'autres informations pertinentes sur le nombre algébrique.

A la question, "est-il possible de trouver un système d'écriture pour pouvoir exprimer tout les nombres réels?"

La réponse est non. Pour la simple et bonne raison qu'un système d'écriture ne peut d'écrire qu'un ensemble dénombrable et que l'ensemble des réels est non dénombrable.

Rq: ce que j'appelle système d'écriture c'est un langage au sens de l'informatique théorique: c'est la donnée d'un ensemble fini de symbole appelé alphabet, par exemple

un mot est une suite fini de symbôle notés les uns à la suite des autres, par exemple


Un langage est un ensemble de mot. Par exemple, on peut choisir que est un mot du langage mais pas
étant donné deux mots et , on note la concaténation des deux mots. On définit le mot vide tel que pour tout mot , . On pose


on a alors qui est l'ensemble des mots possibles de longueur . On pose

l'ensemble de tous les mots possibles. On a alors

Pour tout il est facile de voir que
En tant que réunion dénombrable d'ensemble fini, l'ensemble est dénombrable. En tant que sous enseble d'un ensemble dénombrable est dénombable.

L'écriture à l'aide de radicaux ne permet pas d'écrire tous les nombres algébriques d'après la théorie de Galois, et en plus les nombres écrits sous forme de radicaux non pas d'écriture canonique. Par exemple, il est pas totalement trivial que

Si l'écriture de droite peut être considérée comme plus simple, il était pas clair qu'on puisse simplifier l'écriture de gauche (et on peut trouver d'autre exemples plus tordus).

Il est facile de trouver un système d'écriture pour l'ensemble des nombres algébriques. Un nombre algébrique est noté par une suite de nombre entiers

tels que l'équation

admette une unique solution (à la multiplicité près) dans le disque du plan complexe de centre et de rayon
exemple pour on peut prendre

ce système d'écriture vérifie les points 1), 2) (notamment grace à la théorie du résultant) et 5) (méthode de Newton ou autre).

Il y a-t-il un autre sytème plus intelligent ? peut-être
y-a-t-l un rapport avec les nombres premiers ? c'est pas évident comme ça mais un tel rapport pourrait être très intéressant s'il existait
est-ce que ça servirait à quelque chose? en algèbre certainement, voire en cryptographie s'il y a un rapport avec les nombre premier, en algorithmique peut-être. En dehors de ces domaines je ne pense pas que ca serve à grand chose