De quoi alimenter un qcm d'intégration

[invite6f075ca4]

bonjour,

je voudrais savoir s'il y a un borélien de R de mesure nulle de même cardinal que R

et si vous avez d'autres idées de questions de la même veine, je vous serais bien reconnaissante de me les poser et de m'aider à y répondre.
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[invite6f075ca4]

hum, c'est bon je crois, avec l'ensemble de cantor, suite décroissante de fermés, donc intersection dénombrable de fermés, donc borélien.

[invite6f075ca4]

bon, alors, pourquoi R/Q a t-il une mesure strictement positive?

[KerLannais]

Salut,

Ce que tu appelles Q c'est l'ensemble de cantor dont tu as parlé ou bien c'est l'ensemble des rationnels. Si c'est l'ensemble des rationnels je ne vois aucun rapport entre ta deuxième et ta première question. Je ne pense pas que R/Q soit mesurable pour la mesure de lebesgue.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f075ca4]

Salut,

Ce que tu appelles Q c'est l'ensemble de cantor dont tu as parlé ou bien c'est l'ensemble des rationnels. Si c'est l'ensemble des rationnels je ne vois aucun rapport entre ta deuxième et ta première question. Je ne pense pas que R/Q soit mesurable pour la mesure de lebesgue.

Q, l'ensemble des rationnels. oui, il n'y a pas de rapport entre les deux questions, mais comme j'ai trouvé je pense une réponse à la première...

R/Q est le complémentaire de Q, mesurable lui en tant qu'union dénombrable de mesurables... non?

[invite899aa2b3]

bon, alors, pourquoi R/Q a t-il une mesure strictement positive?

Tu parles de la mesure de Lebesgue?
On a : car l'union est disjointe.

[KerLannais]

Re,

Puisque tu avais utilisé la notation avec un slash et pas un anti-slash je pensais que tu voulais parler du quotient de R par Q, il peut être identifié à un sous-ensemble de R en choisissant un représentant dans chaque classe d'équivalence grace à l'axiome du choix, l'ensemble obtenu est alors non mesurable (il appartient pas à la tribue de Borel et pas à la tribue de Lebesgue non plus).

Pour ton QCM tu devrais t'amuser à chercher un ensemble qui est Lebesgue-mesurable mais pas borélien (ie dans la tribue de Lesbesgue mais pas dans la tribue de Borel).