Théorème de la diagonalisation

[invite6a155a96]

Bonsoir,

Je voudrais démontrer le théorème général de la diagonalisation :

Soient un espace vectoriel sur de dimension finie , . Il y a équivalence entre :
(i) diagonalisable ;

(ii) est scindé dans et ;

(iii) ;

(iv) La réunion des bases des forme une base de .

En fait j'ai procédé par implications cycliques pour démontrer ce théorème, mais je ne suis pas vraiment sûr de ma démonstration de , en gros voici ce que j'ai fait : ( correspond au nombre de valeurs propres de ).

Supposons que . La réunion des bases des étant une famille de vecteurs, elle en contient donc . Mais, par théorème, une famille de vecteurs propres associés à valeurs propres distinctes est indépendante et comme, de plus, l'intersection de deux sous-espaces propres distincts est réduite au singleton on peut en déduire que la réunion des bases des forme une famille de vecteurs indépendants, donc une base de .

Je ne trouve pas ma preuve très satisfaisante, mais je ne trouve pas mieux non plus, est-ce que quelqu'un pourrait m'éclaire un peu ?

Merci!!!!


IC
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[invitea0db811c]

Bonsoir,

En fait tout ce que tu as à montrer, pour formuler correctement, c'est que la somme des espaces propres est directe ^^ (mais l'idée de ta preuve est la même, mais montrer simplement que la somme est directe lui ôtera surement ce petit aspect qui te dérange)

[invite6bacc516]

Ce que tu aimerais dire pour conclure ta preuve, c'est que la réunion des bases des est un système libre, donc une base de car composée de vecteurs.

Ceci provient du fait que les sont en somme directe (et ce n'est pas équivalent à des espaces d'intersection deux à deux nulle !!!).

Le résultat en découle

[invite6a155a96]

Ok d'accord j'ai compris, merci ! Je vais essayer de revoir ça...

[A voir en vidéo sur Futura]