Déterminer l'ensemble E des fonctions f de R² dans R...

[invite927d0b70]

Bonjour à tous désolé pour le titre de la discussion qui est un peu direct, mais c'est pour que vous ayez une petite idée du sujet.
Voila il se trouve que j'ai un exercice à faire dans le cadre d'un projet. Malheureusement je ne sais même pas par où commencer.
Je suis complètement dénue c'est pourquoi je sollicite votre aide afin que vous puissiez m'orienter vers des pistes de résolutions.

Merci d'avance pour vos conseilles et même vos idées.

J'ai rappatrié l'image sur les serveurs du forum. Quand c'est possible, merci d'utiliser le système de pièces jointes plutôt qu'un hébergeur extérieur. (voir ce fil pour les raisons et les détails techniques)

Pour la modération, Flyingsquirrel.
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[invite57a1e779]

Tout est dit dans l'énoncé.

En utilisant les coordonnées polaires, on a .

Il suffit de calculer les dérivées partielles , de déterminer l'équation aux dérivées partielles dont est solution, de la résoudre et de repasser de à .

[invite927d0b70]

Merci de ta réponse God's Breath mais même si pour toi cela parait évident, nous on rame.
Le truc c'est qu'on arrive pas à amorcé le calcul.
On ne sait même pas ce qu'est F ni même la fonction f.
Je sais c'est limite, mais nous n'avons pas travaillé cela en cours et nous sommes trés embêté.
Merci encore pour vos conseils.

[invite927d0b70]

Un petite up parce que c'est très urgent.
Désolé

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Un petite up parce que c'est très urgent.
Désolé

La réponse de GB's vous donne la piste : on écrit x=rcos(t) et y=rsin(t) [r pour rho et t pour théta]
On peut donc en déduire la dérivée partielle de x par rapport à r, que je note abusivement dx/dr : dx/dr=cos(t) etc...

Ensuite on reporte dans la formule que vous a donné GB et vous obtenez les dérivées partielles de F en fonction de celles de f.

Vous en déduisez les dérivées partielles de f en fonction de celles de F, vous reportez dans l'équation aux dérivées partielles, et hop...

La méthode est expliquée dans le doc http://www.math.u-psud.fr/~helffer/coursS4edp07.pdf à la fin (formule 5.6 p 75)

[invite927d0b70]

"On peut alors démontrer le résultat suivant" (5.6 p76)
Mais quel résultat?
Ensuite en quoi ça nous donne E?
Etant donné la situation d'urgence, je sais que ça se fait pas trop, mais on veut bien la solution.
C'est pas faute d'avoir essayé, on a bien suivi ce que vous disiez, trouvé les dérivé partiel de F et f mais malgré cela nous voyons toujours pas ce qu'il faut faire.
Merci à tous ceux qui répondrons.

[inviteaf1870ed]

Qu'est ce que vous trouvez pour les dérivées partielles de F ?

[invite927d0b70]

Pour la dérivée partielle de F on a trouvé :
dF/dr = (df/dx) * Cos(t) + (df/dy) * Sin(t)
avec:
df/dx = Cos(t) * dF/dr - (Sin(t)/r) * dF/dt
et
df/dy = Sin(t) * dF/dr + (Cos(t)/r) * dF/dt

Merci de bien vouloir nous aider ericc

[inviteaf1870ed]

Dans l'équation initiale, remplacez x par rcos(t) et y par rsin(t), ainsi que df/dx et df/dy par les valeurs que vous donnez.

Que trouvez vous ?

[invite927d0b70]

Nous trouvons cela:
r * Cos(t)² * dF/dr + r * Sin(t)² * dF/dr = x² + y²

Si nous mettons en facteur ça donne:
dF/dr (r * Cos(t)² + r * Sin(t)² ) = ( r * Cos(t) )² + ( r * Sin(t) )²

dF/dr = r²/r = r


En rempla
dF/dr = r

[inviteaf1870ed]

C'est bon : si dF/dr=r, alors que vaut F ?

[invite927d0b70]

Apriori F = r²/2 mais quel est le chemin pour continuer???

[inviteaf1870ed]

Ce n'est pas exact : d'une part vous avez oublié la constante; et d'autre part
on intègre par rapport aux deux variables, la bonne fonction est donc F=r²/2+G(t) où G est une fonction quelconque de theta !
Cela suffit à déterminer les solutions de l'EDP.

Je vous aide pour la question 2 : sur le cercle de centre 0 et de rayon 1, r vaut 1 et F=1/2+G(t); si on prend G(t)=-1/2 (la fonction constante égale à -1/2), alors F=0 sur le cercle unité.

Je vous laisse chercher (et trouver) pour la question 3

[invite927d0b70]

Excusez moi mais EDP c'est l'acronyme de quoi???
Sinon merci beaucoup pour toute cette aide précieuse .

[Flyingsquirrel]

Excusez moi mais EDP c'est l'acronyme de quoi???

Équation aux dérivées partielles.