Forme quadratique et matrice associée

[invite3c64d825]

Bonjour,

En relisant mon cours, je tombe sur un résultat que je ne comprends pas.

Nous sommes d'accord qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'une forme soit quadratique est qu'on puisse l'écrire sous la forme q(x)= x^(T) A x avec A une matrice symétrique. Jusque là, ça va.
Mais le cours me dit que A=A^(T), ok vu que c'est une matrice symétrique, mais il rajoute que A=A^(T)=P^(T)DP, avec D la matrice diagonale semblable à A dans la base des vecteurs propres de A.

C'est ce dernier résultat que je ne comprends pas. En temps normal, on a D = P^(-1)AP et donc A = PDP^(-1), et non pas P^(-1)DP...

Quelqu'un saurait-il m'expliquer ? Je suis sûr que ça doit être tout bête, mais je bloque...

Merci d'avance.
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[invite7545be06]

Salut,

c'est (on a puisque est orthogonale). Et donc .

[invitea6f35777]

Si tu veux tu peux prendre Q=P^(T) et tu auras A=QDQ^(T) Ton cours te dis juste qu'il existe une matrice P telle que ... ce qui est tout à fait vrai même si ce n'est pas forcément la matrice P à laquelle tu penses mais éventuellement sa transposée

[invite3c64d825]

Oui c'est sûr, j'suis entièrement d'accord. Mais passez moi l'expression,
j'trouve ça très con d'écrire des choses pareil dans un cours...à part créer des ambiguïtés ça fait rien d'autre.

Le cours nous dit q(x) = x^(T)Ax = x^(T)P^(T)DPx = y^(T)Dy avec y=Px.

Bref, merci à vous .

[A voir en vidéo sur Futura]