Bonjour,
j'ai l'équation suivante: y'+ tan(x)y = sin(x).cos(x) qu'il faut résoudre sur ]-PI/2; PI/2[
Je ne sais pas comment commencer.
J'ai néanmoins avancé dans cette idée suivante:
tan(x) = sin(x)/cos(x)
y' + y = cos²(x)
Quelqu'un pourrait-il m'aiguillonner pour la suite SVP.
Merci de votre attention
Votre équation y'+y=cos²(x) n'est pas équivalente à la première équa diff que vous avez donnée. Vous n'avez pas divisé y' par tan(x). Je doute que la méthode soit correcte.
Pourquoi ne pas résoudre l'équation différentielle homogène d'abord, puis chercher la variation de la constante ? (sauf si la méthode n'est réservée qu'aux EDO linéaires mais j'ai tenté le coup et ça semble marcher, enfin j'ai trouvé une fonction qui vérifie l'EDO toujours...)
Salut bah comme a dit Rhodes il faut d habors resoudre lequation sans secon membre c a dire : y`+tanx*y=0 donc y`/y=-tanx donc la solustion de cette equation est y=A*cosx A est une constante et pour chercher la solution tu n a qu a trouver une solution particuliere sous la forme acosx+bsinx ou par la methode de variation de la constante et l ajouter t aura ta solution.........
Merci de vos réponses.
Effectivement j'ai surement du me tromper mais je ne comprend pas pourquoi c'est faux en fait ...
mon calcul donne : y' + y = (sinx.cosx)/tanx
= (sinx.cosx)/(sinx/cosx)
= (sinx.cosx)x(cosx/sinx)
= cos²x
Ou se trouve l'erreur en fait ?
Ensuite, j'ai avancé: y'/y = -tanx
ln(y)= -ln(cosx)
Est ce bon ? :S
La première équation reste toujours fausse. En partant de la première EDO, vous voulez diviser membre à membre par tan(x), mais vous oubliez de diviser le premier terme y':Envoyé par poolet
y'+tan(x).y=sin(x).cos(x) <=> y'/tan(x) + y = sin(x).cos(x)/tan(x).
L'équation homogène à variables séparées s'écrit bien y'/y=-tan(x) mais la résolution en ln est fausse pour le membre de droite. Quelle est la dérivée de cos(x) ? Prenez garde aux signes. N'oubliez pas la constante d'intégration. Méfiez-vous de l'ensemble de définition du logarithme.
Ok merci j'ai compris mes erreurs. Merci beaucoup !
recherche de la solution homogène:
y(x)= A.exp(cosx)
recherche d'une solution particulière:
y(x)= a(x)exp(cosx)
y'(x)= exp(cosx)[a'(x) - a(x)sinx]
on remplace dans l'équation:
a'(x)exp(cosx) - a(x)sinx.exp(cosx)+(sinx/cosx)a(x)exp(cosx)=sinx.cosx
=exp(cosx)[a'(x) - a(x)sinx + (sinx.a(x)/cosx)]=sinx.cosx
Après je suis de nouveau bloquée ...
1/la solution homogène est fausse, refais tes cacluls.
2/Il y a une astuce que tu peux utiliser en suivant ton idée de transformer directement l'équation :
Si tu multiplies par cos(x), tu obtiens l'équation cos(x)y'+sin(x)y=sin(x)cos²(x)
Le premier membre fait penser à une forme u'v-uv', avec u=y et v=cos(x)
On pose donc z=y/cos(x) ....et l'équation se simplifie merveilleusement; pas besoin de passer par la résolution de l'équation homogène !
Loupé... l'expression de la solution homogène est mauvaise. Astuce (qui n'en est pas une) : avant de poursuivre des calculs qui dépendent d'un résultat intermédiaire, vérifier que ce même résultat est correct. La solution homogène que vous proposez vérifie-t-elle l'EDO homogène ?
y'/y=-tan(x) <=> dy/y=-sin(x)dx/cos(x) <=> d[ln(y)]=d[ln(|cos(x)|)].
On intègre sans oublier la constante (qui peut s'écrire ln(K) par exemple) et on se souvient que ln(a)=ln(b) <=> a=b. Et c'est fini pour la solution homogène.
On ne cherche pas de solution particulière qu'on additionnerait à la solution homogène puisque l'EDO n'est pas linéaire (le principe de superposition n'est plus vérifié). Je peux vous proposer la méthode de variation de la constante, c'est-à-dire d'écrire K=K(x) et d'injecter la nouvelle forme de la solution dans l'EDO inhomogène...
Bien vu ! Joli !
