Bonjour,
je dois répondre à ça :
Résoudre le système récurrent Xn+1 = MXn en fonction de X0 de coordonnées u0,v0,w0. Que devient la solution à long terme (lorsque n tend vers l'infini) ?
Je ne comprends pas trop sous quelle forme je dois mettre ça.
C'est ton 3eme fil sur le même sujet. Dans un autre fil je t'ai donné des pistes, exploite les
on te demande d'exprimer Xn en fonction de n. pour le comportement, ca va dépendre de la matrice M a priori
On sait que :Envoyé par Hamb
je ne comprends pas sous quelle forme faire le calcul.
Est ce que je peux faire Xn+1 = X0 M M^n ?
Si tu nous donnais les énoncés de tes exercices, plutôt que de nous inonder de questions ponctuelles ?
Ok, alors
j'ai la matrice M :
1/2 1/2 0
1/2 0 1/2
0 1/2 1/2
On m'a fait calculer lim M^n (quand n tend vers l'infini) et de D^n matrice diagonale par P^-1 M P = D
Lim M^n :
1/3 1/3 1/3
1/2 1/3 1/3
1/6 1/6 1/6
Ensuite comme on me demande de calculer Xn+1 = MXn en fonction de X0 de coordonnées (u0,v0,w0), et là je n'ai pas de méthodes !
Peux tu nous donner la matrice D ? je pense que tu as fait une erreur dans les valeur propres de M
Matrice D :
Dans la diagonale on reconnait bien les valeurs propres.
1 0 0
0 1/2 0
0 0 -1/2
Ce qui me fait penser que j'ai bon, c'est qu'à chaque fois j'ai vérifié cette condition.
AV = yV (où y est la valeur propre)
Sachant que 1 et 1/2 était donné. J'ai juste eu à en trouver une, ce qui était simple puisque 1 (Trace matrice M) - (1 + 1/2) =-1/2
Ensuite j'ai calculé les vecteurs propres (ils étaient donnés mais il fallait y extraire la valeur propre) en fonction des valeurs propres:
celui ci est obligatoire car c'est une matrice de markov et il est donné par l'énoncé.
1
1
1
correspond à ce que j'ai cherché pour la valeur propre -1/2.
1
0
-1
Puis
1
-2
1
celui ci est donné par l'énoncé.
Par contre effectivement il y a peut être une erreur, car on me demande de trouver les mineurs diagonaux principaux et de les comparer avec ce que j'ai obtenu et ca ne me donne rien.
la deuxième valeur propre est 1/2 et pas -1/2, c'est la 3ème = -1/2
bon le plus simple c'est peut être que je mette ce qu'on me donne:
On me demande de faire le produit :
MV1 et MV3
V1
(1)
(1)
(1)
V3
(1)
(-2)
(1)
Et à partir de là en déduire 2 valeurs propres.
Sachant que valeurpropre1 > valeurpropre2 > valeurpropre3
L'ordre des valeurs propres importe peu. Ce sont effectivement les bonnes.
Il est alors facile de voir que D^n est la matrice Diag (1,1/2^n,[-1/2]^n)
DOnc limite pour n-->+inf est DIag(1,0,0)
Il te reste à donner la limite de M quand n-->+inf
Ok ! ça c'est fait
Et que trouves tu pour les matrices de passage ?
alors :
P :
1 1 1
1 0 -2
1 -1 1
Ca serait ici que j'ai faux ?
Non c'est bon, et P^-1 ?
P-1 je l'ai vérifié avec excel :
1/3 1/3 1/3
1/2 0 - 1/2
1/6 -1/3 1/6
Ca me parait bon aussi.
Par contre j'ai un doute sur le calcul final de la valeur de M limite.
Ceci étant fait, où est ton problème ?
Alors mon problème c'est que je ne sais pas du tout comment calculer.
Il faut résoudre Xn+1 en fonction de X0 de coordonnées (u0,v0,w0).
Xn+1 = M Xn
Xn = M^n X0
Mais tu connais M^n, puisque tu connais D^n !
Si M=P*D*P^-1, alors M²=(P*D*P^-1)(P*D*P^-1)=P*D²*P^-1
Tu généralises facilement à la puissance n : M^n=P*D^n*P^-1
Ensuite tu en déduis donc Xn en fonction de Xo, par la formule que tu donnes : Xn=M^nXo
Où est le problème ?
ca va me donner quelque chose comme :
Xn :
1/3 u0 + 1/3 v0 + 1/3 w0 = un
1/2 u0 + 1/2 v0 + 1/2 w0 =vn
1/6 u0 + 1/6 v0 + 1/6 w0 = wn
Ce qui m'embête c'est après pour trouver Xn+1.
Comment est ce que je calcule après ça ? je cherche juste la façon dont calculer.
Tu confonds la valeur limite de M quand n tend vers l'infini, qui est celle que tu donnes, et M^n, qui est donnée par M^n=P*D^n*P^-1 !
D^n va avoir 1^n, (1/2)^n et (-1/2)^n sur la diagomale, et des 0 ailleurs. Quand n->inf, (1/2)^n et (-1/2)^n -> 0 alors il reste seulement 1 en haut à gauche de la matrice D^N. Le calcul M^n=P*D^n*P^-1 va alors donner M^n=
1/3 1/3 1/3
1/3 1/3 1/3
1/3 1/3 1/3
ou, si on veut, 1/3 * une matrice pleine de 1. Donc la solution de x_n = M^n x_0 que tu as trouvée avec des 1/3,1/2 et 1/6 est pas bonne c'est plutot:
1/3 (u0 + v0 + w0) = un
1/3 (u0 + v0 + w0) = vn
1/3 (u0 + v0 + w0) = wn
Le but de l'exercice, je suppose, est de remarquer que ce vecteur est multiple du vecteur propre de la valeur propre 1: (1,1,1).
Ce n'est pas un hasard, bien sûr. Le vecteur x_0 peut s'écrire, dans la base des vecteurs propres: x_0 = a(1,1,1) + b(1,0,-1) + c(1,-2,1). Alors D^n x_0 = (1^n) a(1,1,1) + (1/2)^n b(1,0,-1) + (-1/2)^n c (1,-2,1). Et comme (1/2)^n et (-1/2)^n -> 0 quand n->inf, ces composantes s'annulent et il reste juste la composante a(1,1,1).
C'est comme ca avec une chaine de Markov. Il faut que toutes les valeurs propres soient dans ]-1,1] pour que le vecteur intial tende vers un vecteur constant à l'infini.
Merci à tous de vos réponses.
et sylvain effectivement, j'ai un bouquin qui me montre le même résultat que toi (concernant les composantes qui s'annulent) mais sans ton explication, forcément c'est beaucoup moins clair.
Je n'ai pas besoin de ça :
Xn+1 = M Xn ?
Dans le bouquin, on me parle de vecteur propre associé à 1 normalisé de façon à ce que la somme de ses composantes soient égales à 1, ce n'est pas notre cas mais le raisonnement semble être le même.
