automorphisme et matrice inversible (question ridicule)

[invite7c6483e1]

Bonjour,

C'est assez bête mais je m'embrouille à essayer d'exhiber l'isomorphisme entre et où est le corps des complexes...

je vais associer à un automorphisme de une matrice inversible 2x2 à coefficients complexes. Mais laquelle concrètement ?

merci pour vos indications
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[invitebe0cd90e]

En fait, l'idée qu'il faut avoir en tete c'est qu'un (endo/auto/-) morphisme d'un espace vectoriel est un "truc abstrait", et qu'une matrice est une incarnation, une realisation concrete d'un de ces trucs abstrait dans une base que tu choisis. Autremnt dit, un meme morphisme peut etre associé a differentes matrice suivant le choix de la base.

Donc il n'y a pas d'isomorphisme vraiment canonique, dans ton exemple il faut d'abord fixer une base de C^2, et ensuite à un automorphisme f tu associes la matrice constituée des images des elements de la base en question par f.

[invite57a1e779]

L'association d'une matrice à un automorphisme se fait en se donnant une base de l'espace vectoriel.
Il te suffit donc de fixer une base de , par exemple .

[invite7c6483e1]

Merci !

Je sais effectivement cela, mais modulo le choix de la base -prenons la base canonique en identifiant à - on ne peut pas écrire concrètement cet isomorphisme ? Parce que c'est bien isomorphe n'est-ce pas ? Je veux juste écrire une flèche entre ces deux groupes en exhibant exactement ce que j'associe à un élément de . Est-ce qu'il est alors correct de dire que le morphisme qui à associe la matrice obtenue par concaténation des vecteurs colonne et , est un isomorphisme "canonique" entre ces deux groupes?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c6483e1]

prenons la base canonique en identifiant à

Pardon, ici ce sont des C-espaces vectoriels ... Donc prenons la base canonique de C^2 tout simplement.

[invite7c6483e1]

Arf ! mince je n'avais pas vu ta réponse God's Breath ... OK !

merci bien !