Matrice

[invite819b388f]

Bonjour,

Pour préparer mon examen j'étais en train de re-faire des exercices, mais il y en a un qui m'échappe.
J'ai une réponse mais je ne suis pas sur.

On a une matrice A (mxn) et b(mx1), le système A.X=b.
Montrer que si A est inversible à droite, alors le système admet au moins une solution.(pas utiliser la division matricielle)

Ce que j'ai trouvé(qui me parait bien trop simpliste) : Soit B l'inverse à droite de A. On a A.X.B=b.B <=> X=b.B. On a construit une réponse donc il y en a une au minimum qui existe.

Mais voila que après on demande : montrer que si A est inversible à gauche, alors le système admet au plus une solution.
Comment faire?

Merci
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[invite819b388f]

une petite aide svp :s ! (sans vouloir exagérer)
Je stress pour l'examen...
Merci bcp

[invite57a1e779]

A.X.B=b.B <=> X=b.B

Je ne vois pas comment on peut passer de AXB à X... par ailleurs les tailles des matrices ne permettent pas d'envisager les produits AXB où bB.

Il faut rédiger ainsi : Soit B l'inverse à droite de A, alors A(Bb)=(AB)b=b, donc le système admet au moins une solution, X=Bb.

Lorsque A admet un inverse à gauche C, il faut prouver que

ainsi le système admet au plus une solution.

[inviteeef69825]

c'est quoi cet exo , le nombre de colonnes de A n'est pas égal au nombre de lignes de X ?!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

le nombre de colonnes de A n'est pas égal au nombre de lignes de X ?!

L'énoncé ne précise pas le nombre de lignes de X qui est à déduire des tailles des matrices A et b.

[inviteeef69825]

oups, exact, j'avais mal lu. X est de taille (n,1), alors, c'est une matrice colonne. A peut-elle être inversible et non carrée ?

[invite57a1e779]

La matrice A de taille (mxn) peut être
– inversible à droite : il existe une matrice B de taille (nxm) telle que AB = I(m) ;
– inversible à gauche : il existe une matrice C de taille (nxm) telle que CA = I(n).

I(k) désigne la matrice unité de taille (kxk).

[inviteeef69825]

et dans ce cas peut-on définit une application linéaire canoniquement associée ? Et quelles sont les particularités de cette application ?

[invite57a1e779]

Suivant le cas, la matrice représente une application linéaire injective ou surjective.

[invite819b388f]

ok, un grand merci God's Breath. C'est bien gentil. Je sais pas pourquoi je m'étais embrouillé alors qu'en fait c'était pas dur. La fatigue...
J'avais fait A.X.B = A.B.X
Vraiment n'importe quoi ....
Merci bcp encore une fois