Représentation triviale du groupe symétrique

[invite7c6483e1]

Bonjour,

J'ai sous les yeux mon cours dans lequel il est dit que le groupe des permutations de n éléments n'admet qu'une seule représentation non triviale qui est la signature PARCE QUE le groupe dérivé de S_n est le groupe alterné.

Je connais les propriétés du morphisme de signature : c'est l'unique morphisme surjectif de S_n dans Z/2Z. Soit! Mais je ne vois pas ce que vient faire le groupe dérivé dans l'unicité. Le groupe alterné est le noyau de la signature, ça ok ...

Bref, donc j'ai supposé qu'il existait une autre représentation de dimension 1 non triviale. Donc qu'il existe une permutation telle que avec différent de 1. Or S_n étant d'ordre fini, on a . Pour aboutir là où on le veut, il faudrait montrer qu'il est impossible que la partie imaginaire soit non nulle. Ce qui forcerait donnant le morphisme de signature. je ne vois pas trop comment le montrer d'ailleurs, j'avais fait un truc mais je viens de voir que c'est faux...

Si j'ai bon, je ne vois toujours pas ce que vient faire le groupe dérivé !

De plus, il est dit que c'est parce que C* est abélien qu'on a la factorisation . Je ne vois pas la raison de cette justification...

merci !
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[invitebe0cd90e]

Salut,

Le truc c'est que d'une manire generale, le sous groupe derivée verifie la propriété suivante : G/D(G) est abelien, et c'est le "plus gros" quotient abelien de G.

Formellement, "le plus gros" se traduit de la facon suivante (on appelle ca une propriété universelle) : Tout morphisme de G dans un groupe abelien A se factorise en un morphisme de G/D(G) dans A. En effet, D(G) est engendré par les commutateurs, et quand tu arrives dans un groupe abelien, les commutateurs sont forcement envoys sur le neutre.

Par suite, tout morphisme de S_n dans GL_1(C)=C^* se factorise par An, et comme ce dernier est d'indice 2, comme tu le fais remarquer, il existe exactement 2 representation de dimension 1 de Sn/An.

[invite57a1e779]

Bonjour,

Soit un commutateur de .

Quelle est la forme de ?
Combien peut valoir ?
Quelle est la restriction de au sous-groupe dérivé ?

[invite7c6483e1]

Merci à vous deux !
God's Breath, je savais que l'image d'un commutateur donnait forcément 1, et j'avais vu qu'il fallait que ça commute pour dire ça. Donc oui, le groupe dérivé de G est inclu dans le noyau de .

Dans le cas de S_n et A_n, on a un isomorphisme entre S_n/A_n et Z/2Z, ok... Donc ça veut dire que le fait qu'on écrive nous oblige à passer par le groupe alterné qui est en fait le groupe dérivé. et du coup les seules valeurs possibles de sont 1 et -1 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c6483e1]

Et jobhertz, la propriété universelle que tu énonces veut dire que G/D(G) est isomorphe à un sous-groupe de A ou à A lui même ?! En fait dans tout ça, je ne vois pas pourquoi on parle du groupe dérivé comme ayant un statut particulier dans la factorisation des morphisme qui atterrissent dans un groupe abélien ... Désolé...

[invitebe0cd90e]

Dans la propriété que je donne, le groupe A peut etre n'importe quel groupe abelien, et le morphisme peut aussi etre quelconque.

Donc ni l'un ni l'autre, ni le morphisme ni le morhpisme induit sur le quotient n'ont de raisons d'etre injectifs ou surjectif en general.

Si tu reprends ton exemple, le morphisme de Sn dans Z/2Z (qui est abelien) peut etre
- surjectif, et dans ce cas le morphisme induit sur le quotient est injectif, et on obtient un iso Sn/An -> Z/2Z, qui induit la representation dont tu parles
- trivial, cas que l'image de Sn (et donc aussi celle de Sn/An) est le sous groupe {0} de Z/2Z. Dans ce cas Sn/An n'est pas du tout isomorphe a son image, aucun des morphisme n'est injectif ou surjectif, et la representation que tu obtiens est la representation triviale.

[invitebe0cd90e]

Je viens de voir ton edit, je reponds donc a la 2e question :

d'une certaine maniere le groupe derivé a un statut particulier parce que... il est fait pour ca Autrement dit, la propriété que j'enonce peut etre pris pour une definition du sous groupe derivé, et on peut montrer ensuite que l'unique sous groupe qui satisfait cette propriété est le sous groupe engendré par les commutateurs.

TU peux aussi revoir ce que dit God's Breath: quand tu as un morphisme de G dans un groupe abelien, les commutateurs sont forcement envoyés sur le neutre. Il se peut qu'il y ait d'autre elements que ceux du groupe drrivé dans le noyau, mais il y a toujours forcement au moins ceux la des que tu atteris dans un groupe abelien.

D'une maniere intuitive : si tu prends un groupe quelconque, et que tu te demandes ce qui "l'empeche" d'etre abelien, par definition c'est le fait que certain elements ne commutent pas. Donc ce qui te gene, c'est le fait que certain commutateurs ne sont pas egaux au neutre. DOnc si tu veux projeter ton groupe sur un groupe abelien en "perdant" le moins d'element possible, il faut justement quotienter par le sous groupe engendré par les commutateurs puisque par definition du quotient ils vont etre envoyés sur la classe de l'element neutre.

C'est une idee generale en theorie des groupes, passer au quotient sers souvent a eliminer quelque chose qui nous genes. Par exemple, ce qui empeche un morphisme d'etre injectif, c'est qu'il a un noyau non trivial. Donc suffit de quotienter par le noyau pour recuperer un morphisme injectif, etc...

[invite7c6483e1]

Ok je comprends la distinction entre surjectif et trivial. Si ce n'est pas trivial c'est forcément la signature...
Le cas trivial, m'embrouille cependant ... si le morphisme est trivial i.e. envoie tout sur 1 (Z/2Z étant prit multiplicatif sous groupe de ), alors son noyau est S_n entier et on a bien un isomorphisme entre S_n/S_n et l'image qui est ici le sous-groupe trivial {1}. Donc je ne vois pas de quoi tu parles !
Plus généralement, si on cherche les représentations d'un groupe G de dimension 1, le fait de s'intéresser au groupe dérivé est-il systématique?

[invite7c6483e1]

Ok merci pour la précision sur la "philosophie" du groupe dérivé! je trouve ça super intéressant !

[invitebe0cd90e]

son noyau est S_n entier et on a bien un isomorphisme entre S_n/S_n et l'image qui est ici le sous-groupe trivial {1}. Donc je ne vois pas de quoi tu parles !

Evidemment, c'est un fait general que des que tu as un morphisme f:G -> H, tu as un iso de G/ker f dans Im f.

Mais la question que tu m'as posée concernait le quotient de Sn par son groupe dérivé, cad An. Et dans ce cas on a pas d'iso entre Sn/An et l'image du morphisme, puisque dans ce cas le groupe derivé est contenu strictement dans le noyau du morphisme.

[invitebe0cd90e]

Plus généralement, si on cherche les représentations d'un groupe G de dimension 1, le fait de s'intéresser au groupe dérivé est-il systématique?

Oui, pour toutes les raisons evoquées plus haut : une representation de dimension 1 tape dans un groupe abelien, donc passe au quotient par le groupe dérivé.

Or, d'une maniere generale si on peut travailler avec un quotient plutot qu'avec le groupe entier, on prefere puisque un quotient "contient moins d'information", est "plus petit" et est souvent plus simple a manipuler.

Dans ce cas precis, c'est meme encore mieux, puisque le quotient est meme abelien. Or, les representations des groupes abeliens sont tres faciles a construire, donc ca nous arrange bien

[invite7c6483e1]

merci pour tout !

[invitebe0cd90e]

De rien, pour preciser un peu das le cas des groupes abéliens tu as deux théorèmes assez forts :

- toute representation irreductible d'un groupe abelien est de dimension 1
- un groupe abelien d'ordre n a exactement n representation de dimension 1.

Donc si tu as un groupe G, regarder le quotient G/D(G) te donne deja pas mal de representation de dimension 1. Mais helas ca ne te les donne pas toutes a priori, puisque le noyau de la representation peut contenir strictement le groupe derivé.

Dans le cas de Sn, ca marche bien puisque An est d'indice 2, donc le noyau est soit An (et ls representations sont faciles a trouver d'apres ce qui precede) soit Sn tout entier (et dans ce cas on a la representation triviale). Sans trop m'avancer je dirais que la meme strategie marche plus generalement si le groupe derivé est d'indice premier.
Dans le cas general les choses ne sont pas forcement aussi simples, et je ne sais pas a quel point le groupe derivé intervient, a ce niveau la c'est du cas par cas.

[invite7c6483e1]

Justement à propos de ces histoires d'indice, j'avais pas mal de questions je suis en train de les chercher ... Parmi elles :
- Le groupe dérivé est toujours distingué ? (réponse évidente mais je veux savoir le montrer au moins une fois)

- Un sous groupe d'indice 2 est-il toujours distingué ? Réciproque ?

je te tiens au courant si jamais je galère ...

[invitebe0cd90e]

Du coup je ne comprends pas si tu attends une reponse ou non

- groupe dérivé : oui il est toujours distingué, mais ca n'est pas forcement "evident", je veux dire c'est vrai parce qu'il a une definition particuliere, et il faut le verifier "à la main". Pour ca il suffit d'ecrire ce que ca fait de conjuguer un commutateur par un element du groupe, et de verifier qu'on reste bien dans le groupe dérivé.

- Alors oui, c'est vrai. Moralement, mais faut faire les details, c'est parce que le quotient de G par un sous groupe d'indice 2 ne contient que 2 elements par definition, et c'est facile de verifier que la loi de G confere une loi de groupe au quotient.

Par contre je ne vois pas ce que tu entends par "reciproque" de ca ? Si c'est "un sous groupe distingué est forcement d'indice 2", c'est clairement faux.

[invite7c6483e1]

Oui je viens de relire la définition de l'indice ... C'était évident ... Merci Je travaille en même temps en fait ! Donc je n'étais pas encore arrivé à buter ! C'est vraiment génial d'avoir ce forum ...