Représentations du groupe Z/nZ

[invite7c6483e1]

Bonjour,
Je suis en train de travailler sur les représentations du groupe cyclique Z/nZ en dimension 1, 2 et 3 sur les corps K= R puis C. Il y a pas mal de choses à dire et tout au long il y a des endroits où je bloque. J'aimerais avoir un peu d'aide...

Commençons par le cas où K=R.
Z/nZ étant cyclique, un morphisme de groupe partant de Z/nZ est entièrement déterminé par l'image de 1 (classe de 1 en fait, mais je ferai cet abus de notations par commodité...).

Donc si on le représente par un R-ev de dimension 1, on veut faire un morphisme de Z/nZ dans R* isomorphe à .
Comme un morphisme de groupes est entièrement déterminé par la donnée des images d'une partie génératrice, il suffit dans notre cas de "choisir" une image pour classe de 1. Seulement, l'ordre de cette image notée doit diviser l'ordre du groupe, soit n. Donc on a . Or les seules solutions sont 1 si n est impair, et 1 ou -1 si n est pair. Dans le cas où n est impair, on envoie tout sur le neutre donc c'est la représentation triviale. Dans le cas où n est pair, soir on pose et on a à nouveau la représentation triviale, soit on pose . Seulement, ce dernier choix donne-t-il un morphisme de groupes? Réponse que l'on m'a donné:

Oui parce que si on pose , pour que ce morphisme factorise par la projection canonique , il faut (et il suffit) que . Donc cela donne .

Je ne vois pas en quoi ça justifie que c'est un morphisme... Moi j'aurais posé la définition et regardé ... Vous en pensez quoi ?
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[invite7c6483e1]

Ok je veux bien que ce soit un morphisme puisque c'est ce que dit le théorème d'isomorphisme : "il existe un unique morphisme de groupes qui factorise ..." Et donc le fait que implique la même condition sur c'est bien ça ? Donc en gros on a trouvé un morphisme qui a les bonnes propriétés dont celui que l'on a posé est le morphisme induit qui conserve ces propriétés ?

[invite9cf21bce]

Bonsoir.

Je pense que la réponse qu'on t'a donnée n'est pas complètement à côté de la plaque.

Il s'agit de dissocier deux choses : "l'image qu'on envisage pour 1" et "les conditions sur cette image pour que ça marche". Et le langage "Z" et "noyau" permet de faire cela mathématiquement sans trop se prendre la tête.

Premier point, tout morphisme Z/nZ -> R* donne lieu à un morphisme Z -> R*. Techniquement, il s'obtient par composition avec la surjection canonique Z -> Z/nZ. Plus prosaïquement, il s'agit du morphisme qui associe à k l'image de la classe de k. De plus cette façon d'associer à un morphisme Z/nZ -> R* un morphisme Z -> R* est injective ; autrement dit le morphisme Z -> R* représente fidèlement le morphisme Z/nZ -> R* qu'on souhaite élucider.

Deuxième point, Z est le groupe libre à un générateur 1. Donc, pour tout élément de R*, il existe et un et un seul morphisme de Z dans R* qui associe à 1. Ainsi, la notion de morphisme de Z dans R* schématise parfaitement l'idée qu'on veut une image particulière pour 1.

Dernier point, pour que ce morphisme corresponde à un morphisme Z/nZ -> R*, il faut et il suffit qu'il se factorise via la surjection canonique, ce qui revient, comme on te l'a répondu, à dire que son noyau contient nZ. Autrement dit, on a une manière mécanique de savoir si l'image de 1 qu'on a choisie convient.

Pour récapituler :

• tu envisages une image pour 1, tu prends le morphisme Z -> R* correspondant (qui existe à tout coup)
• tu veux savoir si on obtient bien un morphisme Z/nZ -> R*, tu regardes si nZ est inclus dans le noyau.

Bon, ça n'interdit pas de faire tout "à la main", mais ça a l'avantage de proposer une méthode simple et généralisable sans trop se poser de questions.

Taar.

[invite7c6483e1]

Donc si j'ai bon je continue ... (euh dites moi si j'ai bon ou pas pour ce qui précède à propos du morphisme de groupes svp)

Donc dans le cas n pair, j'ai la représentation triviale et la représentation .

Irréductibilité:
Ce sont des représentations de dimension 1 donc irréductibles.

Classes d'Isomorphie:
Ces deux représentations et TEX]\rho[/TEX] ne sont pas isomorphes. En effet, un isomorphisme de représentation entre et est un morphisme d'espaces vectoriels tel que , . Ici serait un automorphisme de et conjuguerait et ce qui est impossible. Conclusion les deux représentations ci-dessus sont non équivalentes.
Ceci achève le travail pour un R-espace vectoriel en dimension 1.

R-ev de dimension 2:

Ici, les morphismes de représentation possibles sont en bijection avec les images par de classe de 1. Modulo le choix de la base canonique, on peut parler de matrices. On a comme avant, .
Ici on distingue deux cas, selon la parité de n encore une fois ...
Si n est pair:
Le spectre de est contenu dans l'ensemble des racines du polynôme annulateur que la matrice annule.

Là je coince parce que je m'embrouille entre la diagonalisation sur et sur ... Je veux trouver des représentants simples (genre matrices digonales) des classes d'équivalence des matrices que je peux associer à ... Je sais que c'est des matrices du style symétrie, identité, moins l'indentité, rotations ... Mais j'ai du mal avec les v.p.

peut-on me guider?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

Pour le 1° tu peux t'en sortir de maniere plus directe, en te souvenant que d'une maniere generale, si a est un element d'ordre fini d'un groupe G, le groupe engendré par a est cyclique d'ordre l'ordre de a. DOnc en fait, il te suffit de savoir a quelle condition une application qui envoie le generateur de Z/nZ sur le generateur de Z/pZ est un morphisme. C'est pas difficile de voir qu'il faut et qu'il suffit que p divise n.

Pour le fait que les 2 representations sont non isomorphes, il suffit de remarquer que les groupes images ne sont pas isomorphes, puisque d'ordre different, donc les representations ne peuvent pas l'etre.

Pour le reste, si tu le sais tu peux utiliser le fait qu'a isomorphisme pres, toute representation se decompose en somme directe de representations irreductible, donc dans ton cas il suffit d'assembler des representations de dimensions 1, puisque les representations irreductibles d'un groupe abelien sont exactement celle de dimension 1. Moralement, ca veut dire que tu peux te ramener au cas ou la matrice image de 1 est diagnonale. Attention, ca te reduit le nombre de cas a traiter, mais il va encore y avoir des doublons !

[invite7c6483e1]

Merci pour vos réponses à tous les deux !

Jobhertz mon morphisme atterrit dans , je ne vois pas ce que les morphismes de dans viennent faire ... ?

De plus, j'essaie de construire une fiche sur les représentations en dimension finie de tous les groupes classiques... J'ai commencé par Z/nZ. Dans l'état actuel d'avancement de mon cours, nous ne sommes pas censés savoir ce résultat sur les groupes abéliens. De plus, cet exercice m'oblige à revoir des résultats de réduction des endomorphismes et j'en ai manifestement besoin puisque ce qui me pose des problèmes c'est l'algèbre linéaire ... Donc j'aimerais continuer sur ce que j'ai entamé si tu veux bien m'aider !

Des idées pour les valeurs propres?

[invite7c6483e1]

Ok j'ai compris la démarche merci pour ton explication Taar !

[invitebe0cd90e]

Alors :

pour le morphisme : si c'est un morphisme de groupe, il doit taper dans le sous groupe de R* engendré par l'image de 1, qui est bien cyclique.

Ensuite je precise que les resultats que je te donne sont valables en tantr que tels uniquement sur C. C'est un peu plus compliqué sur R, mais essentiellement ils decoulent de resultats d'algebre lineaire, justement.

Sur C, il suffit de remarquer que le polynome est scindé et à racines simples donc est diagonalisable. Sur R, ca se factorise avec des polynomes cyclotomiques, me semble t il.

[invite7c6483e1]

Merci pour ta réponse jobhertz. Je veux le faire concrétement et explorer toutes les zones qui me paraissent sombres.

Donc à propos de le diagonalisibilité sur je savais, tout se passe bien... C'est pour ça que j'ai commencé par regarder sur . Les polynômes cyclotomiques, je vois ce que tu veux en faire, mais on ne peut pas discuter cela plus simplement sans chercher à factoriser le polynôme charactéristique sur ?
Je m'en vais travailler un peu là dessus et je reviendrai continuer ce fil tout à l'heure avec des questions bien précises.

[invitebe0cd90e]

Une regle generale en algebre c'est quand meme que sur R tout est toujours plus compliqué Si tu regardes meme historiquement, l'existence de R repose plutot sur des considerations analytiques (completion de Q pour en faire quelque chose de continu), alors que l'existence de C a plutot une origine algebrique (cloture algebrique de R). Quelque part on sent bien que ca n'est pas naturel d'avoir presque une theorie differente pour les polynomes X^2+1 et X^2-1

Bref, faire de la theorie des representations sur R peut etre necessaire dans certain contexte, mais ca n'est pas tres "naturel", au sens ou il est difficile de dire des choses generales mais frequent de devoir faire du cas par cas.

Si tu prends tous les cours de base de theorie des representations des groupes finis, ils se placent sur C par defaut. Tout ca pour dire que tu pourrais te restreindre au cas complexe ou il y a deja pas mal de choses a dire, faire et demontrer. Sur R tu risques de te retrouver a faire des listes de disjonctions de cas qui n'auront pas forcement grand interet, au sens ou tout va dependre tres fortement de propriétés particulieres de l'ordre de ton groupe cyclique...

[invite7c6483e1]

Je comprends ... Mais au risque de paraître borné, c'est surtout l'intérêt pédagogique du travail sur R que je vise. Pour tout te dire, c'est un de mes exercices de TD qui me demande ça pour Z/nZ, et du coup j'essaie de le faire complètement et pour d'autres groupes après comme S_n ou D_n ... Donc d'un point de vue mathématique tu as raison. Simplement, cet exercice me permet de buter sur justement les différences entre ce qui se passe sur C (comme dans mon cours) et ce qui merde sur R ! A toutes

[invitebe0cd90e]

J'avais bien compris, rassures toi, je n'ai pas dit que tu avais tort Je disais juste :
- qu'au point de vue pedagogique, ce qui etait plus compliqué sur R n'etait pas forcement tres instructif.
- qu'il se passe sans doute des choses plus interressantes, tant au niveau algebre lineaire qu'au niveau theorie des groupes, en prenant des groupes compliqués qu'en se placant sur R.

DOnc je pense que tu n'arriveras pas a degager des resultats vraiment generaux. Si tu veux te frotter a de l'algebre lineaire sur R, tu devrais peut etre fixer une valeur de n et essayer de faire le travail.

Pour D_n (et encore plus pour S_n) la theorie est deja compliquée sur C.