Bonjour,
Je suis en train de travailler sur les représentations du groupe cyclique Z/nZ en dimension 1, 2 et 3 sur les corps K= R puis C. Il y a pas mal de choses à dire et tout au long il y a des endroits où je bloque. J'aimerais avoir un peu d'aide...
Commençons par le cas où K=R.
Z/nZ étant cyclique, un morphisme de groupe partant de Z/nZ est entièrement déterminé par l'image de 1 (classe de 1 en fait, mais je ferai cet abus de notations par commodité...).
Donc si on le représente par un R-ev de dimension 1, on veut faire un morphisme de Z/nZ dans R* isomorphe à.
Comme un morphisme de groupes est entièrement déterminé par la donnée des images d'une partie génératrice, il suffit dans notre cas de "choisir" une image pour classe de 1. Seulement, l'ordre de cette image notéedoit diviser l'ordre du groupe, soit n. Donc on a
. Or les seules solutions sont 1 si n est impair, et 1 ou -1 si n est pair. Dans le cas où n est impair, on envoie tout sur le neutre donc c'est la représentation triviale. Dans le cas où n est pair, soir on pose
et on a à nouveau la représentation triviale, soit on pose
. Seulement, ce dernier choix donne-t-il un morphisme de groupes? Réponse que l'on m'a donné:
Je ne vois pas en quoi ça justifie que c'est un morphisme... Moi j'aurais posé la définition et regardé ... Vous en pensez quoi ?Oui parce que si on pose, pour que ce morphisme factorise par la projection canonique
, il faut (et il suffit) que
. Donc cela donne
.
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