Déterminant d'une matrice 5x5 à même coefficient sur la diagonale

[invite9f015c1d]

Bonjour,

Soit la matrice dont on cherche à calculer le déterminant :

2-X 1 1 1 1
1 2-X 1 1 1
1 1 2-X 1 1
1 1 1 2-X 1
1 1 1 1 2-X

Le calcul du déterminant est long et donc source d'erreur. J'aurai voulu savoir s'il existait une petite astuce pour le calculer plus simplement.

Merci d'avance.
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[invite6f25a1fe]

Oui il y a une astuce je pense. Connais tu les valeurs propres et polynomes charactéristiques d'une matrice ?

Le déterminant que tu cherches est justement le calcul du polynome charactéristique de la matrice :
2 1 1 1 1
1 2 1 1 1
1 1 2 1 1
1 1 1 2 1
1 1 1 1 2
Ici, on a de la chance car la matrice possède des valeurs propres évidentes (ce sont les X qui annulent le déterminant que tu cherches). On voit que prendre X=1 donne la matrice avec que des 1 partout, est donc +1 est valeur propre (elle l'est 4 fois même).
Il nous reste une valeur propre à trouver. Pour cela, on sait que la somme des 5 valeurs propres est égale à la trace de notre matrice : soit 10=4*1+y, ce qui nous donne y=6

On peut le vérifier en disant que le produit des valeurs propres est le déterminant de ta matrice. Donc det(M)=1*1*1*1*6=6 ce qui est vrai

Finalement, le déterminant de ta matrice vaut le polynome charactéristique, soit , sauf erreur de ma part