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Déterminant d'une matrice 5x5 à même coefficient sur la diagonale



  1. #1
    corto44

    Déterminant d'une matrice 5x5 à même coefficient sur la diagonale


    ------

    Bonjour,

    Soit la matrice dont on cherche à calculer le déterminant :

    2-X 1 1 1 1
    1 2-X 1 1 1
    1 1 2-X 1 1
    1 1 1 2-X 1
    1 1 1 1 2-X

    Le calcul du déterminant est long et donc source d'erreur. J'aurai voulu savoir s'il existait une petite astuce pour le calculer plus simplement.

    Merci d'avance.

    -----

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  3. #2
    Scorp

    Re : Déterminant d'une matrice 5x5 à même coefficient sur la diagonale

    Oui il y a une astuce je pense. Connais tu les valeurs propres et polynomes charactéristiques d'une matrice ?

    Le déterminant que tu cherches est justement le calcul du polynome charactéristique de la matrice :
    2 1 1 1 1
    1 2 1 1 1
    1 1 2 1 1
    1 1 1 2 1
    1 1 1 1 2
    Ici, on a de la chance car la matrice possède des valeurs propres évidentes (ce sont les X qui annulent le déterminant que tu cherches). On voit que prendre X=1 donne la matrice avec que des 1 partout, est donc +1 est valeur propre (elle l'est 4 fois même).
    Il nous reste une valeur propre à trouver. Pour cela, on sait que la somme des 5 valeurs propres est égale à la trace de notre matrice : soit 10=4*1+y, ce qui nous donne y=6

    On peut le vérifier en disant que le produit des valeurs propres est le déterminant de ta matrice. Donc det(M)=1*1*1*1*6=6 ce qui est vrai

    Finalement, le déterminant de ta matrice vaut le polynome charactéristique, soit , sauf erreur de ma part

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