Série convergente

[invite8d54258a]

Bonsoir à tous, j'ai une petite question en analyse. On me demande de prouver que la série dont le terme général est définit par :

et pour

converge.

Je ne suis pas sûr, mais j'ai fait un développement limité à l'ordre 2 et je trouve :


On utilise ensuite le critère de comparaison pour les séries à termes négatifs pour conclure. Qu'en pensez-vous ?
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[invite899aa2b3]

Oui, c'est correct: tu as écrit le terme général de la série comme la somme des termes généraux de deux séries convergentes: pour la première est fixé donc ça converge comme la série des et pour la seconde ça converge aussi, étant une fonction de pour laquelle quand tend vers l'infini on en déduit que est majorée en valeur absolue par à partir d'un certain rang.

[invite8d54258a]

J'ai juste eu une hésitation, car si j'écris :


On ne peut plus utiliser le critère de comparaison, car à gauche on a quelque chose de négatif et à droite quelque chose de positif. Or il faut que les termes soient de signe constant, non ?

[invite57a1e779]

Quelque chose d'équivalent à est nécessairement positif pour assez grand ; si ce n'est pas le cas, c'est que ton équivalent est faux.

[A voir en vidéo sur Futura]