Produit de variables aléatoires continues.

[invite514148c3]

Salut à tous,

j'ai un petit souci sur le produit de deux v.a. continues (et indépendantes).

La question exacte que je me posais est :

Soit R gaussienne de moyenne et d'écart type .
Soit uniforme sur [-;+].

Quelle est la densité de probabilité de ?


Je me suis dit qu'il suffisait d'écrire



Sachant que pour abs(Z/X) > 0.5 et vaut 1 sinon, il vient directement



Soit



où est la fonction de répartition de R (dont l'expression est connue).


Mon souci arrive lorsque j'essaie de comparer mon résultat avec l'expérience (sous Matlab, le code arrive après). Avec , .

J'ai obtenu la figure en pièce jointe ("unscaled.png"). En bleu, la densité "vraie" calculée d'après la routine intégrée à Matlab ksdensity, en vert une gaussienne de moyenne et d'écart-types correspondant à peu près, et en rouge le résultat de l'application de la formule obtenue ci-dessus.

Comme on le constate, l'intégrale de ma ddp n'est clairement pas 1. mais bon, je me suis dit, "ok, essayons en la normalisant ?" et j'a obtenu la seconde figure en pièce jointe ("scaled.png").

Ca colle "un peu mieux" mais c'est toujours pas extra, surtout au centre.

Comme je n'arrive pas à trouver d'où vient cette différence (et que je ne suis pas certain de n'avoir pas fait une erreur dans mon raisonnement), je me permets de soumettre le problème ici (est-ce que la résolution analytique est fausse ?).

Pour info/référence, le code Matlab utilisé est également en pièce jointe (repart.m).

Toute idée ou explication serait la bienvenue... Merci de votre aide : )
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[invite514148c3]

En fait je pense qu'il doit manquer un terme comme 1/X ou 1/X² dans l'intégrale, pour tenir compte du fait que Z/X n'évolue pas linéairement.

Pas encore eu le temps de tester ça mais je vais essayer.

[invite514148c3]

J'avance : )

Pour lever toute ambiguïté sur la formule intégrale, j'ai ramené le pb à l'étude du ln du produit. (on va dorénavant noter )
(on va dire qu'on ignore pour l'instant au moins les éventuels pb de signe, le produit pouvant être négatif. Au moins pour nous aiguiller vers la solution, éventullement on pourra a posteriori essayer de montrer que le résultat obtenu est juste).


Comme , on a



Soit avec les formules de transformation de la ddp d'une loi continue





Soit en réutilisant la formule de transformation :



On effectue alors les changements de variables suivants : et on obtient



Voilà, on a bien exhibé un terme supplémentaire dû au fait que Z/X n'est pas de dérivée 1 (ou -1) (bon, le terme est en X et pas en 1/X, mais c'était l'idée : ))

Il reste à résoudre l'intégrale. Si on avait ce serait facile (on a un joli à intégrer), avec c'est moins évident mais on va peut-être s'en tirer. Mais d'abord l'heure de la pause : )

[invite514148c3]

Attention faute de frappe : il fallait lire



dans la dernière intégrale (C'est dommage de ne pas pouvoir éditer une fois les 5 minutes écoulées. Nénamoins le terme était donc bien en 1/X comme pressenti : ))

[A voir en vidéo sur Futura]