de rien... à raconter des trucs comme ça à un mathématicien ça m'entraîne à essayer de pas passer sur certains détails comme on fait souvent en physiqueEnvoyé par martini_bird
c'est ça: si elle est définie positive, tu as une métrique riemannienne. Gauss ne s'était intéressé qu'aux surfaces et avait effectivement appelé ça première forme fondamentale. Riemann a généralisé le concept aux espace de dimensions quelconques étant donné que cette métrique est une grandeur intrinsèque (contrairement à la deuxième forme).En d'autres termes, en chaque point, on a une forme quadratique définie positive (ce que j'ai déjà rencontré sous le terme "première forme fondamentale"). C'est ça?
ça veut dire qu'en chaque point le tenseur métrique est diagonalisable sous forme quadratique dont la signature ne contient pas que des + ou que des moins. Typiquement, c'est l'espace-temps de Minkowski (et ceux de la relativité générale) où la métrique a une signature de la forme (-,+,+,+). Mais pour qu'une métrique soit "bien définie" malgré une signature pas positive, il faut qu'elle soit non-dégénérée (ce que j'avais mentionné plus haut), ce qui signifie que l'on a "il existe u tel que quelque soit v g(u,v)=0 <==> u = vecteur nul".Pseudo-riemannienne, ça veut dire quoi exactement?
C'est comme ça qu'en relativité tu peux définir une métrique mais également des vecteurs "du genre lumière", c'est-à-dire de pseudo-longueur nulle (typiquement c'est un vecteur colinéaire à la trajectoire d'une particule se déplaçant à la vitesse c).
concrètement une métrique non-dégénérée te permet de définir en chaque point de la variété un isomorphisme entre l'espace tangent et l'espace cotangent, ce que l'on nomme parfois "brutement" en physique "utiliser les composantes covariantes ou contravariantes d'un vecteur".
Pour l'anecdote, je te signale quand même qu'en physique aussi ça peut être utile de définir un truc aussi "bizarre" qu'une métrique dégénérée : tu peux ainsi reformuler toute la théorie de la gravitation newtonienne comme une théorie géométrique 4D (du genre de la relativité générale donc) mais avec un tenseur métrique dégénéré. Mais bon, là je m'éloigne du sujet initial
je crois qu'en disant ça tu mélanges la métrique et sa représentation dans une carte (= ses coordonnées par rapport à une base définie sur un ouvert de la variété). M'enfin, je n'ai têt pas été super clairFinalement, on peut trouver une métrique sur la sphère en entier ou non?
Tu définis bien la métrique sur toute la variété [ou plutôt sur la fibrée tensorielle du genre (0,2) pour utiliser des termes plus "rigoureux"] simplement si tu te mets à vouloir considérer les composantes de la métrique dans une carte donnée, tu ne peux pas caractériser tout le tenseur métrique comme ça car il te faut plusieurs cartes pour couvrir la sphère.
pas de problème comme je t'ai dit : ça me fait du bien d'essayer de reformuler de manière à peu près rigoureuse ces trucs...Merci encore de prendre de ton temps pour répondre à quelqu'un qui nage en géo diff!
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sur la variété M entre les points 