Equation différentielle contenant une suite

[DarK MaLaK]

Bonjour, j'aimerais connaître une méthode pour résoudre l'équation suivante :



Ici, est la constante de raideur d'un ressort (virtuel) et les représentent les déplacements d'un atome autour de sa position d'équilibre dans une approximation telle que le cristal est unidimensionnel monoatomique dans le cas d'une onde longitudinale où on ne considère que les interactions entre plus proches voisins, M étant la masse de l'atome. Donc c'est simplement l'équation fondamentale de la dynamique que je dois résoudre dans ce problème simplifié à une dimension.

En fait, j'aimerais surtout savoir comment montrer qu'il existe des solutions de la forme (en utilisant si nécessaire des considérations physiques mais de manière rigoureuse, et pas simplement en disant que le déplacement varie dans le temps pour introduire subitement une formule en exponentielle qu'on teste, comme j'ai vu sur plusieurs sites) et si elles sont uniques :



Où a est la distance interatomique et k le vecteur d'onde (ici parallèle au déplacement).


Merci pour vos réponses.
-----

[DarK MaLaK]

Up !

Ce problème n'intéresse-t-il personne ? S'il manque des informations pour le résoudre, dites-le moi (même si je pense avoir quasiment tout dit, excepté que le cristal est considéré comme infini).

[invitec540ebb9]

j'avoue que je ne comprend pas l'utilisation de suite... le PFD te donne une equa diff classique d'un oscillateur harmonique x''=alpha/M*x je comprend pas l'utilisation des suites la dedans

[DarK MaLaK]

C'est bien mon problème également. Cette équation doit symboliser le fait que les atomes bougent autour d'une position d'équilibre. Ils sont tous équidistants, donc la position de l'atome n est égale à na si on considère que l'on est sur l'ensemble des réels positifs. Le but dans ce problème est de montrer que ne sera pas quelconque mais aura une périodicité qui permettra de trouver une relation de dispersion.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec540ebb9]

bein t'apelle x la position de ton atome et tu parle pas de suite tu pose ton equation tu tombe sur un oscillateur -> solution du type cos(wt) et ta montré que yavait une periodicité. Chaque atome bouge selon son bon vouloir non? donc c'est comme s'il pouvait etre isolé.

[DarK MaLaK]

En fait zanz, si c'est la raison de la présence des que tu n'as pas comprise, c'est tout simplement dû au fait que :

...
on ne considère que les interactions entre plus proches voisins

=> les atomes en position (n-1)a et (n+1)a vont exercer chacun une force assimilée à une force d'un ressort sur l'atome en position na

Et justement les atomes ne vibrent pas comme s'ils étaient isolés à cause de la périodicité, c'est pour cela qu'on doit garder les suites. On voit plus loin que dans certaines positions périodiquement espacées, les atomes vibrent exactement de la même façon.

[invitec540ebb9]

effectivement j'avais pas vu cette phrase je sais pas trop quoi te dire jme rappelle plus de toutes les equations qui serait mises en jeu. En tout cas dans le cas unidirectionnel comme t'a di ça doit se calculer et je pense tjs que y'a pas forcement besoin de suite...
------O-----------O------------O-----------
l'atome au centre reçoit une force de celui de gauche et de droite. Si elle est du type ressort elle doit etre de la forme k(x-xo) de la part de l'atome de gauche et de l'atome de droite elle recevra surement une force du type k(x+xo)
Faut se faire un dessin pour mieux se representer les choses. Rappelle moi les equa de physique stp

[invite9a322bed]

Si tu supposes que les interactions des deux voisins est une constante, là tu trouve l'équation différentielle d'un oscillateur, ce qui est tout à fait logique ! Mon bagage mathématiques me permet pas de résoudre cette équation, à parti si tu donne la tête de la fonction : , si c'est un polynôme, ou de l'exp ou de la trigo, c'est faisable !!!!

[DarK MaLaK]

Je vais reprendre le calcul un peu en arrière, cela vous donnera peut-être plus d'idées.

Sur le schéma de zanz, on ajoute les positions respectives de chaque atome de la manière suivante :

----------O---------O----------O----------------> x
--------(n-1)a------na-------(n+1)a------------

Donc d'après ce que j'ai dit précédemment on a deux forces qui s'exercent sur l'atome en position na : la force qu'exerce l'atome en (n-1)a que j'appelle et la force qu'exerce l'atome en (n+1)a que j'appelle .

Ces deux forces s'écrivent :



et



On applique le principe fondamental de la dynamique :



Je précise que j'ai pensé à chercher une solution dans le sens des dérivées discrètes (dont on enlève la limite) pour tenter d'obtenir une équation aux dérivées partielles mais que ça ne m'a rien donné pour l'instant.

[Armen92]

Bonjour, j'aimerais connaître une méthode pour résoudre l'équation suivante :



..................

Une fois effectuée la transformation de Fourier en temps, on obtient une équation aux différences finies, linéaire et homogène, qui n'a donc que des solutions exponentielles.
Une fois que l'on réalisé cela, il suffit de tourner la manivelle.
Sinon (quand on est un peu maso), on pose le problème en termes d'une matrice infinie, et on tombe sur des polynômes connus (ceux de Gegenbauer par exemple quand on a refermé la chaîne sur elle-même).

[DarK MaLaK]

Ok merci Armen92 : je dois être un peu maso car j'étais en train de commencer à écrire une matrice

[Armen92]

Ok merci Armen92 : je dois être un peu maso car j'étais en train de commencer à écrire une matrice

Il faut l'être ! C'est en mouillant sa chemise que l'on apprend.
Et puis finalement, diagonaliser cette matrice n'est pas bien sorcier

[DarK MaLaK]

C'est ce que je vais découvrir, ensuite il ne me restera plus qu'à résoudre une nouvelle matrice pour calculer le coefficient de transmission d'une particule pour l'effet tunnel et j'aurai mérité de manger ce soir ! Bien des réjouissances en perspective !

[Armen92]

....et on tombe sur des polynômes connus (ceux de Gegenbauer par exemple quand on a refermé la chaîne sur elle-même).

Je donne dans l'auto-citation pour corriger mon erreur...
On trouve les polynômes de Gegenbauer quand on ne referme pas la chaîne sur elle-même.

Au contraire, quand on la referme, on peut utiliser l'existence d'un groupe (cyclique, donc abélien) de symétrie formé des rotations multiples de s'il y a atomes.
Toutes les représentations irréductibles sont à une dimension, tous les caractères sont des complexes de module 1, donc tous de la forme avec réel.
On applique les projecteurs de symétrie et c'est gagné : la matrice est diagonale et les éléments diagonaux donnent la relation de dispersion.
Chaîne refermée ou non, les résultats obtenus d'un côté et de l'autre se confondent dans la limite

[DarK MaLaK]

Bonsoir, j'ai toujours des difficultés avec ce calcul : mes connaissances en mathématiques ne sont pas assez rigoureuses pour comprendre ce qu'est clairement la fermeture d'une chaîne, sauf si tu veux dire que pour n très grand. J'ai également du mal à diagonaliser la matrice par les méthodes que je connais (en dimension finie...). Je trouve, quand je calcule le polynôme caractéristique, que le calcul est sans fin car , calcul que l'on peut répéter jusqu'à obtenir à la puissance ...

[Armen92]

1) pour n très grand.
2) J'ai également du mal à diagonaliser la matrice par les méthodes que je connais (en dimension finie...). Je trouve, quand je calcule le polynôme caractéristique, que le calcul est sans fin car , calcul que l'on peut répéter jusqu'à obtenir à la puissance ...

1) Refermer la chaîne à atomes, c'est en effet identifier et .
Là, on peut jouer avec le groupe de symétrie, comme je l'ai expliqué sommairement.
2) Si on laisse la chaîne ouverte, on obtient une relation de récurrence à trois termes entre les polynômes caractéristiques , par exemple en développant suivant sa première ligne. Cette relation est celle des polynômes de Gegenbauer.

[DarK MaLaK]

Bonjour, je n'ai toujours pas réussi à trouver la solution. J'ai essayé d'utiliser la transformée de Fourier mais les équations se compliquent énormément quand j'obtiens mes nouvelles expressions :







Déjà, là je coince car je ne sais pas si je peux annuler les primitives intermédiaires, vu que je n'ai pas l'impression de pouvoir les calculer, attendu que les sont inconnus. Si toutefois je les élimine, j'obtiens :



Puis je réécris l'équation en transformée de Fourier vu qu'elle est linéaire :





Pour pouvoir utiliser la seule méthode que je connaisse, je pose :

[DarK MaLaK]

J'écris l'équation caractéristique :







Donc :



D'après moi, il faudrait maintenant prendre la transformée de Fourier inverse et conclure, mais je trouve les un peu compliqués pour avoir une simple exponentielle. Donc j'aimerais que quelqu'un me dise si je me suis trompé dans le calcul ou dans le raisonnement et où !

P.S. : Désolé pour le double post mais j'avais un gros bug et je ne voulais pas perdre l'écriture des formules qui sont assez longues.

[Armen92]

J'écris l'équation caractéristique :







Donc :



D'après moi, il faudrait maintenant prendre la transformée de Fourier inverse et conclure, mais je trouve les un peu compliqués pour avoir une simple exponentielle. Donc j'aimerais que quelqu'un me dise si je me suis trompé dans le calcul ou dans le raisonnement et où !

P.S. : Désolé pour le double post mais j'avais un gros bug et je ne voulais pas perdre l'écriture des formules qui sont assez longues.

Après passage en Fourier, votre système pour les amplitudes s'écrit :
.
C'est une équation linéaire homogène aux différences finies du second ordre, dont les solutions sont forcément des exponentielles. En posant , on trouve la relation de dispersion des modes propres :
, soit :

Si on referme la chaîne sur elle-même (N atomes), l'angle est de la forme où prend les valeurs .

Cela étant, les déplacements sont donnés par :

où les sont fixées par les conditions initiales.

[DarK MaLaK]

Merci pour ces nouveaux éclaircissements. Je reprends donc mon calcul pour m'assurer que j'ai bien suivi (et pour éventuellement aider des gens qui pourraient avoir des problèmes avec une équation similaire) :



On multiplie cette équation par :



Ici, après vérification de l'homogénéité, il suffit de poser :

et

On obtient donc l'équation :

Arrivé là, j'ai encore un problème : comment montre-t-on que les solutions d'une équation linéaire homogène aux différences finies du second ordre sont forcément des exponentielles ?

Si je l'admet, je détaille le calcul permettant d'obtenir la relation de dispersion :





Et donc :

On peut donc en conclure que :

La solution en moins peut être supprimée puisqu'à ma connaissance une pulsation est toujours positive.

Ensuite, si j'ai bien compris, le fait de refermer la chaîne signifie qu'on dit qu'elle est de taille N et qu'on associe un angle à chaque atome, ce qui va montrer la périodicité de .

Ensuite, je ne parviens pas à retrouver votre dernier résultat. Avez vous utilisé la transformée de Fourier inverse ? Si c'est le cas je ne vois pas d'où vient le second terme en exponentielle négative, ni la somme sur les , à moins que ce soit une combinaison linéaire donnant la solution la plus générale.

[Armen92]

1) Comment montre-t-on que les solutions d'une équation linéaire homogène aux différences finies du second ordre sont forcément des exponentielles ?
2) La solution en moins peut être supprimée puisqu'à ma connaissance une pulsation est toujours positive.
3) Ensuite, si j'ai bien compris, le fait de refermer la chaîne signifie qu'on dit qu'elle est de taille N et qu'on associe un angle à chaque atome.
4) Ensuite, je ne parviens pas à retrouver votre dernier résultat. Avez vous utilisé la transformée de Fourier inverse ?

Ayant peu de temps, je vous réponds brièvement :
1) Cela peut se faire de diverses façons. L'une consiste à utiliser la transformation de Laplace. D'un autre côté, on peut s'en convaincre assez facilement : une équation aux différences finies linéaires est la cousine d'une équation différentielle du même type, dont il est connu que toutes les solutions sont de nature exponentielle.

2) Non, il faut garder les deux branches de dispersion , sinon on rate la moitié du spectre de fréquence

3) Oui, c'est cela.

4) La chaîne étant refermée, les valeurs de sont discrètes et l'intégrale de Fourier inverse devient une sommation discrète, d'où l'expression finale des déplacements (avec les deux branches de fréquence, d'où les deux exponentielles)

[DarK MaLaK]

Ayant peu de temps, je vous réponds brièvement :
1) Cela peut se faire de diverses façons. L'une consiste à utiliser la transformation de Laplace. D'un autre côté, on peut s'en convaincre assez facilement : une équation aux différences finies linéaires est la cousine d'une équation différentielle du même type, dont il est connu que toutes les solutions sont de nature exponentielle.

2) Non, il faut garder les deux branches de dispersion , sinon on rate la moitié du spectre de fréquence

3) Oui, c'est cela.

4) La chaîne étant refermée, les valeurs de sont discrètes et l'intégrale de Fourier inverse devient une sommation discrète, d'où l'expression finale des déplacements (avec les deux branches de fréquence, d'où les deux exponentielles)

1) Ok je vais essayer avec Laplace, j'écrirai mon calcul ensuite, peut-être avec ma réflexion sur la méthode des matrices de taille infinie qui me paraît toujours aussi floue.

2) Ok, dans mon cours, la solution négative est totalement passée sous silence, sans que cela semble poser de problème pour l'interprétation physique (peut-être que ça a un rapport avec les ondes progressives/régressives et qu'on n'a considéré qu'un type d'onde).

4) Donc je suppose qu'il faut utiliser la transformée de Fourier discrète du coup.

[DarK MaLaK]

Bonjour, j'ai un peu réfléchi au problème depuis la semaine dernière et je vais proposer une démonstration valable pour un cas en supposant que si elle est bonne, les autres cas devraient pouvoir se démontrer de manière similaire.


Méthode matricielle :

Soit une équation différentielle du second ordre à coefficients constants de la forme :



On ne considère que l'équation dite "caractéristique".

Posons :



On obtient une solution en utilisant les exponentielles de matrices :



Il faut expliciter cette solution en diagonalisant la matrice A :





Si par exemple, on obtient deux solutions pour scinder le polynôme :





à condition que

à condition que

Si on appelle P la matrice de passage et D la matrice diagonale, nous obtenons :

avec et

Or, cela implique que : existe car les racines sont distinctes.

On peut donc calculer V :











Une des deux équations du système nous donne donc :





Cela démontre-t-il la pertinence de l'équation caractéristique algébrique ?



Méthode avec la transformée de Laplace :


Soit une équation différentielle du second ordre à coefficients constants de la forme :



On peut y appliquer la transformée de Laplace.




Le système devient donc :



Et là je bloque, je ne vois plus comment avancer, même si l'équation caractéristique semble apparaître dans la dernière équation (Please help!!).

Pour le reste des démonstrations, je n'ai pas encore trouvé grand chose, je continuerai à réfléchir demain certainement, j'ai assez écrit pour aujourd'hui !

[DarK MaLaK]

Désolé pour le double post, mais je voulais préciser que je ne vois pas comment cette démonstration (si elle est correcte) pourrait s'appliquer aux équations avec des suites, mêmes si elles sont "cousines" avec les équations différentielles !!

[Armen92]

1) Méthode matricielle
...................
Cela démontre-t-il la pertinence de l'équation caractéristique algébrique ?

2) Méthode avec la transformée de Laplace
.............................. ..



Et là je bloque, je ne vois plus comment avancer, même si l'équation caractéristique semble apparaître dans la dernière équation (Please help!!).

1) Votre méthode matricielle est ultra-classique et bien connue : c'est ainsi que l'on transforme une équation du second ordre en un système différentiel 2x2 du premier ordre (exemple : passage des équations de Lagrange à celles de Hamilton).
La "pertinence de l'équation algébrique" n'a plus à être établie depuis longtemps, puisque c'est un très vieux théorème : la solution d'une telle équation différentielle est une combinaison linéaire des bonnes exponentielles.

2) De votre équation, on tire immédiatement Y(p) sous la forme d'une fraction rationnelle, qui s'inverse immédiatement et redonne évidemment la même solution qu'en 1).

[DarK MaLaK]

1) Votre méthode matricielle est ultra-classique et bien connue : c'est ainsi que l'on transforme une équation du second ordre en un système différentiel 2x2 du premier ordre (exemple : passage des équations de Lagrange à celles de Hamilton).
La "pertinence de l'équation algébrique" n'a plus à être établie depuis longtemps, puisque c'est un très vieux théorème : la solution d'une telle équation différentielle est une combinaison linéaire des bonnes exponentielles.

2) De votre équation, on tire immédiatement Y(p) sous la forme d'une fraction rationnelle, qui s'inverse immédiatement et redonne évidemment la même solution qu'en 1).

1) Ok mais je ne suis pas mathématicien et ce que je voulais voir, c'était si on pouvait résoudre une équation différentielle du second ordre sans l'équation caractéristique pour justement me montrer à moi que cette équation est pertinente, car jamais aucun de mes professeurs n'a expliqué d'où elle venait. Si c'est ultra-classique, je suppose donc que c'est juste !

2) Merci, je n'avais pas vu qu'à partir de là, on pouvait retrouver la même solution (en décomposant en éléments simples avant d'intégrer je suppose).

Mais :

Ayant peu de temps, je vous réponds brièvement :
1) Cela peut se faire de diverses façons. L'une consiste à utiliser la transformation de Laplace. D'un autre côté, on peut s'en convaincre assez facilement : une équation aux différences finies linéaires est la cousine d'une équation différentielle du même type, dont il est connu que toutes les solutions sont de nature exponentielle.

Je ne vois toujours pas, en excluant l'analogie, pourquoi les solutions d'une équation linéaire homogène aux différences finies du second ordre sont forcément des exponentielles.

[Armen92]

Cela peut se montrer à l'aide de la transformation de Laplace appliquée à des équations aux différences.
De mémoire, c'est expliqué en détail dans un recueil de la série Schaum consacré à cette transformation.
Bien cordialement