double intégrale (u²=ku)

[invite85d77600]

Bonjour,
je bloque sur un exercice :

E est un R-espace vectoriel des fonctions continues sur [0;1] et à valeurs réelles.
Soit f une fonction donnée non nulle appartenant à E et u l'application qui à toute fonction g de E fait correspondre la fonction h définie par




Montrer qu'il existe un réel k tel que u²=ku et donnez l'expression de k au moyen d'une intégrale.

Voila, je sais pas du tout comment faire !

J'avais commencé à écrire u² mais je me retrouve avec une intégrale d'une intégrale et ça je sais pas faire !

Si quelqu'un pouvait me donner au moins une piste !
Merci d'avance.
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[invite85d77600]

Sachant qu'on m'avait demandé dans les questions précédentes de montrer que u était un endomorphisme et de déterminer l'espace image (Im u) que j'avais trouvé égal à E

[inviteaf1870ed]

En fait il n'y a pas vraiment de double intégrale. Remarque d'abord que dans l'expression de h(x) tu peux sortir le f(x) de l'intégrale. Ainsi tu peux écrire h(x)=A(g)f(x) où A(g) est un coefficient qui dépend de ta fonction g.
Ensuite écris l'expression de u²(g)=u(u(g))=u(h). Tu vas avoir une intégrale qui en contient une autre. Celle à l'intérieur est en fait une constante que tu peux sortir.

[invite85d77600]

Merci beaucoup pour ta réponse !
c'est en effet plus facile comme ça ^^

[ si je ne me suis pas trompé, je trouve ]

Le fait de donner k suffit-il à montrer qu'il existe ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Ta valeur de k n'est pas bonne. Tu dois trouver une intégrale.

[invite85d77600]

En fait je trouve



mais si je peux sortir le f(x) ça me donne



et



mais c'est vrai que ça ne peut pas être ça car dans le question d'après il me demande de calculer k pour f(x)=arcsin x et ça ne peut pas être juste k = 0.5 arcsin x !!

Mais je ne vois tout de même pas où j'ai fais une erreur!

[inviteaf1870ed]

C'est Int (tf(t)dt), regarde mieux

[invite85d77600]

Désolé mais je vois pas comment vous avez trouvé un f(t) !



je ne vois pas où est mon erreur !

[invite1e1a1a86]

il te manque les variables quand tu écris, la notation est un peu abusive

par exemple, pour f une fonction de t
u(f) est une fonction de x que je noterais pas la suite:
u(f(t))(x)

alors:

Désolé mais je vois pas comment vous avez trouvé un f(t) !


...

[inviteaf1870ed]

Désolé mais je vois pas comment vous avez trouvé un f(t) !

Ton erreur est là : dans ta deuxième intégrale...

[invite85d77600]

Ok !
Je trouve bien



Merci beaucoup d'avoir pris le temps de m'aider !

[inviteaf1870ed]

Sachant qu'on m'avait demandé dans les questions précédentes de montrer que u était un endomorphisme et de déterminer l'espace image (Im u) que j'avais trouvé égal à E

Cela est faux : si tu regardes bien l'image d'une fonction quelconque g est de la forme A(g)f où A est une constante qui dépend de g [l'intégrale de 0 à 1 de tg(t)]
L'image de u est donc la 'droite vectorielle' engendrée par f.

Cela te permet de retrouver le résultat sur u² : on a u(g)=A(g)f.

Donc u²(g)=u(u(g))=u(A(g)f)=A(g)u(f )=A(g)A(f)f=A(f)u(g)

On retrouve bien, sans calculs, le résultat trouvé auparavant.