Représentation mentale du noyau d'une fonction

[invitee7ddda3d]

Bonjour,

Après de nombreux heures d'algèbre, je n'arrive toujours pas à me représenter le noyau d'une fonction, ni l'image d'ailleurs.

Un colleur m'a donné un exo où justement il fallait se représenter le noyau et l'image d'une fonction linéaire. A la fin il m'a dit que c'était comme une boule compacte qui baignait dans un espace et qui se coupait de temps en temps avec un autre ensemble vague, flottant, qui était au fait l'image de cette fonction (il m'a même fait un petit schéma).

Mais je ne parviens toujours pas à me représenter concrètement Ker f et Im f. Je me base juste sur la définition, et ce n'est pas très excitant.

Je vous demande donc si vous pouvez me faire imaginer ce que sont l'image et le noyau d'une fonction, si possible avec des exemples (projecteurs etc.)

Merci!
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[invite4ef352d8]

Je sais pas ce que t'as racompté ton colleur... mais vu comme ce qu'il a dit à l'air clair, il vaut peut-etre mieux que tu l'oublie ^^


Franchement, il n'y à rien à ce représenter : le noyaux c'est l'ensemble des elements sur lequel la fonction est nul. et l'image c'est comme pour n'importe qu'elle fonction : c'est f(E)

La seul image mental à avoir c'est que ce sont des sous espaces vectorielle : donc il faut penser à un plan ou une droite... surtous pas à une boule... enfin sauf si on parle de morphisme de groupe dans qu'elle cas il faut juste rien ce représenter en général.

et que à part le théorème du rang, il n'y à aucun lien entre eux en général (ils ne sont pas supplémentaire par exemple). en fait à chaque fois que tu choisit des espaces dont les dimension sont compatible aux théorème du rang, on peut trouver une application linéaire tel que l'un soit le noyaux et l'autre l'image... bref un noyaux c'est rien de plus qu'un espace vectoriel.

[invite6f25a1fe]

Heu, je trouve l'explication bizarre moi. Kerf un espace qui "coupe" un autre qui serait Imf, j'ai du mal à comprendre.

Ce qui doit être claire déjà, c'est que kerf et Imf n'appartiennent pas aux mêmes espaces (sauf pour un endomorphisme). Kerf un ensemble de l'ensemble de départ E, et Imf de l'ensemble d'arrivé F.

Ce qu'on peut dire c'est qu'on peut découper l'espace de départ E en :
- kerf : ensemble qui par f() donne 0 de F
- tout le reste (E\kerf) qui par f() donne Imf\0 (l'image sans le 0)
Ceci doit pouvoir se mettre sous la forme d'un dessin, mais je ne sais pas si c'est d'une grande aide...

[hbx360]

Merci pour ton image @Scorp je viens de comprendre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[syborgg]

Je crois comprendre que le colleur voulais dire la chose suivante :
Si F est le Ker(f), alors l'espace de depart se decompose en une union disjointe des sous espaces affine F+x, et l'ensemble de ces sous espaces affines est en bijection avec Im(f).
C'est en effet important de comprendre cela et de le visualiser en termes de fibres de la fonction f.
AMA si tu ne comprends pas ce que je viens de dire previens moi je donnerai des details.