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Coefficient de Fourier



  1. #1
    Leonhardo

    Coefficient de Fourier


    ------

    Bonjour. Un petit blocage sur un calcul de coefficient de Fourier :
    Soit et la fonction périodique définie sur par . Calculer les coefficients , la série de Fourier, prouver qu'il y a convergence sur et donner sa valeur en .

    Donc on a .

    Théorème de DIRICHLET :
    on a pour , .
    Je ne vois pas la valeur en ni comment en déduire le développement de cotan. Help !

    -----

  2. #2
    Leonhardo

    Re : Coefficient de Fourier

    Personne ?

  3. #3
    God's Breath

    Re : Coefficient de Fourier

    La somme de la série pour ne serait-elle pas ?
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #4
    Armen92

    Re : Coefficient de Fourier

    Citation Envoyé par God's Breath Voir le message
    La somme de la série pour ne serait-elle pas ?
    En gros, et de mémoire, Dirichlet affirme que la série de Fourier converge simplement vers :

    Pour une fonction discontinue, c'est donc la demi-somme des valeurs à gauche et à droite. Ici, pour , c'est donc .
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Leonhardo

    Re : Coefficient de Fourier

    Ok. Mais comment calculer la série de Fourier associée ? J'ai rarement fait le cas complexe en fait.

  7. #6
    God's Breath

    Re : Coefficient de Fourier

    En fait, on a, avec la série de Fourier calculée : , et on obtient immédiatement une cotangente.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  8. #7
    Leonhardo

    Re : Coefficient de Fourier

    Je vous cite mon corrigé que je n'ai pas vraiment bien compris :
    on en déduit que :
    .

    En posant , on trouve :

    Ce qui était le résultat attendu. Mais je dois avouer ne pas comprendre toutes les égalités, surtout la première

  9. #8
    Leonhardo

    Re : Coefficient de Fourier

    God's Breath :
    Via le théorème de Dirichlet on a , non ? Comment trouvez-vous un cosinus ?

  10. #9
    God's Breath

    Re : Coefficient de Fourier

    Relis les réponses #3 et #4 : en un point de discontinuité, la somme de la série de Fourier est la demi-somme des limites à droite et à gauche de la fonction.
    Pour , la somme de la série de Fourier est donc .

    Ensuite, il faut isoler le terme d'indice dans la série de Fourier puis, pour , regrouper les termes d'indices et .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  11. #10
    Armen92

    Re : Coefficient de Fourier

    Citation Envoyé par Leonhardo Voir le message
    Je vous cite mon corrigé que je n'ai pas vraiment bien compris :
    on en déduit que :
    .

    [/CENTER]

    Ce qui était le résultat attendu. Mais je dois avouer ne pas comprendre toutes les égalités, surtout la première
    La somme de la série de Fourier étant égale à la demi-somme des valeurs à gauche et à droite, elle vaut :

    en . La première égalité est alors triviale :
    L'impossible, nous ne l'atteignons pas, mais il nous sert de lanterne. (René CHAR)

  12. #11
    Leonhardo

    Re : Coefficient de Fourier

    Ok, je ne maitrise pas parfaitement le théorème ! Donc cela fournit déjà .

    Ensuite, pour t dans , on a .

    Pour n=0 on a le terme .

    Puis pour les négatifs :

    Et enfin pour les positifs :

    Que vaut

  13. #12
    God's Breath

    Re : Coefficient de Fourier

    Citation Envoyé par Leonhardo Voir le message
    Que vaut
    Tout simplement: .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  14. #13
    Leonhardo

    Re : Coefficient de Fourier

    Oui, donc, au final on a :


    Même en factorisant par l'exponentielle, je n'arrive à rien de concret

  15. #14
    Leonhardo

    Re : Coefficient de Fourier

    Donc en divisant par , on trouve :



    Puis en mettant sous le même dénominateur, je trouve :


    Soit encore :


    La présence du sinus dans la deuxième partie, et la présence du cosinus dans la première me donne :



    Ceci est presque la formule attendue :



    Ou est l'erreur ?

  16. #15
    Leonhardo

    Re : Coefficient de Fourier

    Il n'y a personne avec moi ?

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