Polynômes de Bernstein

[invite8d54258a]

Bonsoir, j'ai un peu de mal sur les polynômes de Bernstein. On pose

Il faut calculer :

, , ,

La première ne pose pas de problème., je trouve 1 avec le binôme de Newton. Par contre après, ça coince. Une petite aide please ? Merci !
-----

[invite93e0873f]

Salut,

Pour les autres, je dirais qu'on peut obtenir des résultats intéressants en procédant comme suit (je ne l'ai fait que pour la deuxième).

Calcul la deuxième somme et la troisième somme dans les cas spécifiques où X=0 et X=1.

Pour la deuxième somme, trouve une expression pour en terme de , , et (on veut que ce dernier terme apparaisse explicitement dans l'expression de la dérivée pour des raisons qui paraîtront plus tard). Néanmoins, en voulant exprimer la dérivée avec , on obtient une fraction avec au dénominateur, ce qui rend la fraction indéfinie en X=0 ou X=1. Tu peux ensuite dériver la première somme et quelques manipulations te permettront d'obtenir :



Cette formule fonctionne avec les résultats si X=0 ou X=1.

Pour la troisième somme, vu le terme k(k-1), cela sent la dérivée seconde de . Je n'ai pas effectué le calcul. La quatrième somme se déduit de la seconde et la troisième.

[invite3240c37d]

Notons :
[/TEX]
On utilise les dérivées :

T'en déduis . En dérivant tu mets en évidence .. etc ..

[invite8d54258a]

Avec vos notations :



Que l'on simplifie :


Mais je ne vois pas comment faire apparaître les autres termes :/

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8d54258a]

Je viens de saisir ! Ainsi, ce calcul est valable pour x différent de 0 et 1. Et on vérifie par la suite que le pour x=0 et x=1.