Fonction définie par une intégrale : holomorphe?

[invite7248ca18]

Bonjour,

Je travaille sur une fonction définie comme suit:


J'aimerais tout simplement savoir comment montrer que cette fonction est holomorphe sur tout son demi-plan de convergence.
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[invite00970985]

Bonjour,

Je travaille sur une fonction définie comme suit:


J'aimerais tout simplement savoir comment montrer que cette fonction est holomorphe sur tout son demi-plan de convergence.

Quelles sont les conditions sur f ?? A priori, on ne peut rien dire !
Et ta définition ne veut rien dire ... Tu voulais écrire "F(x)" au lieu de "F(s)" je suppose ?

[invite7248ca18]

Quelles sont les conditions sur f ?? A priori, on ne peut rien dire !
Et ta définition ne veut rien dire ... Tu voulais écrire "F(x)" au lieu de "F(s)" je suppose ?

f: [1,+infini[ à valeurs dans R

Pardon, c'est bien un dx qui va dans mon intégrale!
Qu'en penses-tu maintenant?

[invite63e767fa]

Bonjour,

à des changements de notation près, c'est la transformée de MELLIN
(en changeant x en x-1 et en changeant s en 1-s )
Une petite recherche sur la transformation de Mellin répondra à la question et renseignera sur les propriétés requises pour f(x).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Salut !

le théorème de dérivation sous le signe intégral (avec l'hypothèse de domination) s'applique aussi pour des dérivations par rapport à la variables complexe.

donc pour montrer que F(s) = intégral de f(x,s)dx est holomorphe il suffit de trouver une fonction Phi(x) intégrable tel que pour tous s |df/ds (x,s)| < Phi(x)
(ou au moins pour tous s au voisinage d'un point a pour montrer que c'est holomorphe en a...)

Bien entendu ca dépend de la fonction f ! mais cela est evident : la fonction F n'est mêmepas défini pour n'importe quel fonction f...