Introduction d'une pseudo-constante pour le vide dans un langage du 1er ordre

[Médiat]

L'article est très intéressant. Pourquoi n'y a t-il, pas plus de vulgarisation sur le sujet ?

C'est un truc de logicien, donc cela n'intéresse pas les gens sérieux qui font des vraies mathématiques !

PS : sachant que l'ironie macabre passe mal par écrit, je précise juste que je suis logicien (et comble du vice, content de l'être)
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[invite7863222222222]

L'article est très intéressant.

C'est plutôt un cours.

[invitecf3725df]

Bonsoir

Bonjour,

Mathématiquement, le mot objet est donc inutile puisque c'est le synonyme absolu de "ensemble".

oui, c'est vrai, il aurait été plus simple de parler seulement d'ensemble et de "pré-/anté-/pseudo-ensemble"

Définition conforme à la théorie NBG, pourquoi pas (on peut se passer des schémas d'axiomes, cette théorie étant finiment axiomatisable, mais ce n'est pas gratuit ).

Avece NBG c'est plus simple puisque tout est une classe.

mon objectif n'était pas de faire référence à NBG mais d'utiliser la notion de classe de manière informelle comme Jech dans sa set theory; mais ce n'est pas nécessaire et enlève tte ambiguité si on considère qu'un ensemble est le seul objet de la théorie et Lambda défini par rapport à lui

Pour résumer, vous considérer une théorie avec un symbole de Prédicat unaire C, donc la signification est C(x) = x est une classe, et non C(x) = x est une

pseudo classe (j'aime mieux que pseudo objet ou même pseudo ensemble).
Avec les axiomes de NBG (éventuellement remaniés) et la définition de NBG remaniée elle aussi :

je pense que la confusion vient du fait que j'utilise le même symbole de variable "x" pour des choses différentes; moins de confusion si j'écris :

est un "pseudo-objet" est un objet

z est bien une pseudo classe

Je ne comprends pas ce qui vous permet d'affirmer cela, et si c'est un axiome alors vous êtes en train de dire que , ce qui

est contradictoire avec vos autres définitions

avec la précision précedente, je pense que ça devient plus clair; le vide n'est bien sûr pas l'ensemble vide

L'unicité est un axiome supplémentaire ? Si oui, je ne vois pas ce qu'apporte cette vision par rapport à l'introduction d'un nouveau symbole de constante

dont nous avons déjà discuté ...

non non, ça tient au fait qu'il n'y a qu'une constante pour le vide

[invitecf3725df]

Cela me fait penser à la prise en compte de zéro comme entier naturel.

Patrick

Bonsoir,

effectivement, c'est un peu la même démarche

[invitecf3725df]

Bonsoir



je pense que la confusion vient du fait que j'utilise le même symbole de variable "x" pour des choses différentes; moins de confusion si j'écris :

est un "pseudo-objet" est un objet

z est bien une pseudo classe



avec la précision précedente, je pense que ça devient plus clair; le vide n'est bien sûr pas l'ensemble vide

autant pour moi, je ne sais pas où j'ai la tête; la confusion ne sera pas levée tant que j'utiliserai des variables; je dois absolument utiliser la constante Lambda pour la définition d'un pseudo-ensemble!
bon je vais revoir ma copie

[invite6754323456711]

Bonsoir,

effectivement, c'est un peu la même démarche

Si la notion d'ensemble est première. La notion d'ensemble vide ne se suffit-elle pas en elle même ? C'est avant tout un ensemble et il n'y a rien de plus fondamental.

Ou alors il faut concevoir un être mathématique plus fondamental que la notion d'ensemble.

Patrick

[invitecf3725df]

Bonsoir,

nouvel essai :

dans le cadre d'une théorie où le seul objet est un ensemble,

est un "pseudo-objet" (ou "pré-élément")

or, par l'axiome du vide :




Donc Lambda appartient à l'ensemble vide; et ce qui appartient à l'ensemble vide ne peut être que le vide!

Si la notion d'ensemble est première. La notion d'ensemble vide ne se suffit-elle pas en elle même ? C'est avant tout un ensemble et il n'y a rien de plus fondamental.

Ou alors il faut concevoir un être mathématique plus fondamental que la notion d'ensemble.

Patrick

Le "0" représente le rien; or, l'ensemble vide n'est pas "rien"; je pense que Lambda, dénotant le vide/potentiel est beaucoup plus proche de zéro, et même plus général; il est donc aussi plus fondamental que l'ensemble vide;

merci pour votre feedback

[invite6754323456711]

Le "0" représente le rien; or, l'ensemble vide n'est pas "rien";

Le cardinal de l'ensemble vide est zéro non ? c'est en fait un ensemble qui ne contient rien.

Patrick

[invitecf3725df]

Le cardinal de l'ensemble vide est zéro non ? c'est en fait un ensemble qui ne contient rien.

Patrick

justement, cardinal et ensemble sont 2 notions distinctes; l'ensemble vide ne contient rien, d'où une cardinalité égale à 0; il se comporte aussi comme 0 dans l'algèbre des ensembles, mais il n'est pas rien; dans le cas contraire, le singleton qui contient l'ensemble vide serait l'ensemble vide!

[invite6754323456711]

justement, cardinal et ensemble sont 2 notions distinctes; l'ensemble vide ne contient rien, d'où une cardinalité égale à 0;

Oui, mais n'y a t'il pas contradiction avec

or, par l'axiome du vide :



Donc Lambda appartient à l'ensemble vide; et ce qui appartient à l'ensemble vide ne peut être que le vide!

Patrick

[invitecf3725df]

Oui, mais n'y a t'il pas contradiction avec



Patrick

eh bien, j'espère que non, c'est le défi conceptuel que j'essaye de relever, et je dois admettre que tout reste à prouver; mais je suis confiant (ce qui n'est en rien une garantie

je ne sais pas si vous avez eu l'occasion de lire mon pdf, mais la partie non formelle devrait apporter quelques éclaircissements.

Laurent

[Médiat]

l'ensemble vide ne contient rien, [...] mais il n'est pas rien

ce qui appartient à l'ensemble vide ne peut être que le vide

A minima il y a là un abus de langage : le premier "vide" de la dernière phrase n'a pas le même sens que le deuxième de cette même phrase (ou alors il y a une contradiction ente les deux phrases).

[invitecf3725df]

A minima il y a là un abus de langage : le premier "vide" de la dernière phrase n'a pas le même sens que le deuxième de cette même phrase (ou alors il y a une contradiction ente les deux phrases).

c'est là tout l'enjeu de ma démarche : faire admettre que les expressions "contient rien" et "ne contient rien" sont équivalentes. Dans la théorie standard, l'ensemble vide ne contient rien; dans la théorie Lambda, l'ensemble vide contient rien (comme tout ensemble non vide d'ailleurs). Si les ensembles se comportent de la même façon dans les deux théories, l'équivalence des expressions devrait être établie; l'ambiguité peut peut-être être levée si l'on précise que l'ensemble vide ne contient "rien qui soit un ensemble"! Qu'en pensez-vous?

[invite6754323456711]

c'est là tout l'enjeu de ma démarche : faire admettre que les expressions "contient rien" et "ne contient rien" sont équivalentes.

Pourquoi ne serait-elle pas équivalente ? C'est le même rien

Avec plus on pourrait comprendre
J'en veut plus (+)
je n'en veut plus

A la limite Je n'en sais rien ou je sais rien on peut comprendre la nuance

Mais il ne contient rien ou il contient rien pour l'ensemble vide la subtilité m'échappe (il ne contiendra jamais rien par définition tout comme il contient rien) cela doit être l'heure



Patrick

[Médiat]

c'est là tout l'enjeu de ma démarche : faire admettre que les expressions "contient rien" et "ne contient rien" sont équivalentes.

Et quel est l'enjeu de cet enjeu ?

Si les ensembles se comportent de la même façon dans les deux théories, l'équivalence des expressions devrait être établie;

Que veut dire "se comporte" pour des ensembles ?

l'ambiguité peut peut-être être levée si l'on précise que l'ensemble vide ne contient "rien qui soit un ensemble"! Qu'en pensez-vous?

Effectivement, C'est d'ailleurs ce que je disais, sous forme de demande de confirmation, dans mon message #3 (17/03/2010).

[invite6754323456711]

c'est là tout l'enjeu de ma démarche ?

Si l'objectif est de généraliser la notion d'ensemble n'est-il pas plus approprié de chercher à conceptualiser une notion de Meta-ensemble plutôt qu'une notion de éo-ensemble (Lambda).

L'ensemble vide n'est-il pas l'élément le plus primitif de la notion d'ensemble qui se veut identifier tout type entité mathématique ?

Patrick

[invitecf3725df]

Pourquoi ne serait-elle pas équivalente ? C'est le même rien

Avec plus on pourrait comprendre
J'en veut plus (+)
je n'en veut plus

A la limite Je n'en sais rien ou je sais rien on peut comprendre la nuance

Mais il ne contient rien ou il contient rien pour l'ensemble vide la subtilité m'échappe (il ne contiendra jamais rien par définition tout comme il contient rien) cela doit être l'heure



Patrick

je pense comprendre d'où vient le trouble; dans le langage courant, les 2 expressions sont en effet équivalentes, mais dans la théorie Lambda, l'interprétation la plus naturelle semblerait être celle qui consiste à les distinguer; néanmoins, j'espère pouvoir montrer qu'elles y restent équivalentes

[invitecf3725df]

Et quel est l'enjeu de cet enjeu ?).

l'exploration, la découverte; mon seul souci, c'est que ça marche; après, advienne que pourra

Que veut dire "se comporte" pour des ensembles ?).

relations entre ensembles; propriétés des ensembles

Effectivement, C'est d'ailleurs ce que je disais, sous forme de demande de confirmation, dans mon message #3 (17/03/2010).

effectivement; désolé du retard de cette confirmation, et encore merci pour le feedback

[invitecf3725df]

Si l'objectif est de généraliser la notion d'ensemble n'est-il pas plus approprié de chercher à conceptualiser une notion de Meta-ensemble plutôt qu'une notion de éo-ensemble (Lambda).

mon objectif, en l'occurence, est de montrer que Lamba constitue une condition de possibilité de tout ensemble;
mais si vous lisez le début de mon article, vous verrez que j'interprète Lambda comme condition de possibilité de tout langage également

L'ensemble vide n'est-il pas l'élément le plus primitif de la notion d'ensemble qui se veut identifier tout type entité mathématique ?Patrick

l'ensemble vide est l'ensemble le + simple, mais il y a, selon moi, quelque (pseudo-) chose de plus simple que l'ensemble le plus simple : Lambda!

merci aussi pour le feedback; je ne pourrai pobablement pas répondre à vos éventuelles remarques/questions avant la fin du w-e.

Laurent

[Médiat]

l'exploration, la découverte; mon seul souci, c'est que ça marche; après, advienne que pourra

Je n'ai aucun doute sur le fait que l'adjonction de cette constante dans le langage avec les axiomes revus et corrigés, donne une théorie co-consistante avec ZF, et vous ne pouvez en espérer plus ; si vous voulez que cette nouvelle théorie ne reste pas dans votre seul placard, il vous faut absolument montrer un (au moins) de ses avantages, que cet avantage soit purement mathématique ou épistémologique.

relations entre ensembles; propriétés des ensembles

Dans ce cas cela ne marche pas car une théorie vérifie et pas l'autre.

[Médiat]

J'ai une suggestion à vous faire : vous avez introduit un nouveau symbole de constante (c'est ma façon préférée de "voir" votre idée) qui apartient à tous les autres ensembles, mais pas à lui même, pourquoi ne pas ajouter un deuxième symbole de constante auxquels tous les autres ensembles appartiennent , une espèce d'ensemble de tous les ensembles, mais pas soumis à tous les autres axiomes (en tout cas, pas de la même façon), j'ai pas le temps de réécrire les axiomes avec ce nouveau symbole, mais il va de soi que, par exemple, l'axiome de la paire ou celui des parties ne s'applique pas.

Ne me demandez pas à quoi cela pourrait servir, je n'en ai aucune idée, mais comme je ne sais toujours pas à quoi peut servir , ce n'est pas grave

Surtout ne vous découragez pas.

J'en profite pour rectifier le message précédent, la bonne proposition est :

[invitecf3725df]

Bonjour,

Je n'ai aucun doute sur le fait que l'adjonction de cette constante dans le langage avec les axiomes revus et corrigés, donne une théorie co-consistante avec ZF, et vous ne pouvez en espérer plus ; si vous voulez que cette nouvelle théorie ne reste pas dans votre seul placard, il vous faut absolument montrer un (au moins) de ses avantages, que cet avantage soit purement mathématique ou épistémologique.

Je dirais que mon premier souci était celui de tirer les conséquences d'une série d'intuitions. L'idée de construire l'ensemble vide d'une manière qui me semble plus naturelle qu'au moyen d'une anti-tautologie, et moins ad hoc qu'au moyen d'un axiome spécifique, me séduit. La simplification de l'axiome de l'infini me paraît intéressante également. Alors s'il y a moyen d'obtenir par ailleurs des résultats similaires à ceux de ZF, je pense que ma théorie mérite un certain intérêt. Qu'en pensez-vous?

Dans ce cas cela ne marche pas car une théorie vérifie et pas l'autre.

J'en profite pour rectifier le message précédent, la bonne proposition est :

c'est exact, mais pas trop grave; dans le pire des cas, je dois distinguer les 2 expressions

[invitecf3725df]

Bonjour,

'est exact, mais pas trop grave; dans le pire des cas, je dois distinguer les 2 expressions

je dois bien avouer que je suis un peu de mauvaise foi, là

[Médiat]

Bonjour,

L'idée de construire l'ensemble vide d'une manière qui me semble plus naturelle qu'au moyen d'une anti-tautologie, et moins ad hoc qu'au moyen d'un axiome spécifique, me séduit.

Pourquoi une anti-tautologie (proposition démontrablement fausse) ? Au pire vous pouvez dire au moyen d'une négation de formule atomique, et je ne vois pas le problème.

La simplification de l'axiome de l'infini me paraît intéressante également.

Admettez que l'avantage est mineur, de toute façon ce n'est qu'une seule proposition

Alors s'il y a moyen d'obtenir par ailleurs des résultats similaires à ceux de ZF, je pense que ma théorie mérite un certain intérêt. Qu'en pensez-vous?

Comme je vous l'ai déjà dit, pour moi un intérêt pourrait être mathématique ou épistémologique, et les deux cas que vous avez cités ne me convainquent pas encore, car vous les payer au prix d'une complexification des autres axiomes.

A suivre ...

[invitecf3725df]

Comme justification épistémologique à ma théorie, je dirais que la prise en compte de Lambda permet une interprétation différente de la notion d'ensemble comme l'expression d'un potentiel, pour un ensemble non vide, et comme ce qui ne contient que du potentiel, pour l'ensemble vide.

Tout cela ne s'avérera néanmoins vraiment utile que dans le cadre d'une théorie qui prend en compte une logique du potentiel (encore à élaborer) où la relation "appartient potentiellement à" sera définie.

[invitecf3725df]

Bonjour

Bonjour,

Pourquoi une anti-tautologie (proposition démontrablement fausse) ? Au pire vous pouvez dire au moyen d'une négation de formule atomique, et je ne vois pas le problème.

ce qui me dérange un peu, c'est que c'est une définition par défaut; j'aurais une attitude un peu "intuitioniste" sans en adopter la radicalité

Admettez que l'avantage est mineur, de toute façon ce n'est qu'une seule proposition...

à ce propos, un interlocuteur me fait remarquer qu'on peut très bien formuler l'axiome de l'infini dans ZF sans faire référence à l'ensemble vide (en récupèrant $\omega$ au moyen du schéma de remplacement à partir de n'importe quel ensemble infini, qu'il comprenne le vide ou non).

Mais il me semble qu'on doive alors déjà disposer d'un ensemble infini dans lequel on aura dû postuler l'existence d'un élément initial, ensemble vide ou autre, ce qui n'est pas le cas dans la simplification que vous avez mise en évidence (même si ce n'est bien sûr possible que grâce à l'axiome du pré-élément)

Comme je vous l'ai déjà dit, pour moi un intérêt pourrait être mathématique ou épistémologique, et les deux cas que vous avez cités ne me convainquent pas encore, car vous les payer au prix d'une complexification des autres axiomes.

A suivre ...

je continue à réfléchir, sans doute inconscient de l'ampleur de la tâche

[Médiat]

Bonjour

à ce propos, un interlocuteur me fait remarquer qu'on peut très bien formuler l'axiome de l'infini dans ZF sans faire référence à l'ensemble vide (en récupèrant au moyen du schéma de remplacement à partir de n'importe quel ensemble infini, qu'il comprenne le vide ou non).

Autrement dit un axiome qui dit qu'il existe un ensemble infini s'il existe un ensemble infini (qui d'ailleurs n'est pas vide, donc autant partir de n'importe quel ensemble non vide, c'est plus cohérent)

[invitecf3725df]

Bonjour,

j'ai attaché à ce message la version pdf de la présentation powerpoint de ma théorie (qui ne reprend pas mes commentaires, malheureusement). Je serais très intéressé de connaître votre avis, notamment vos réponses aux questions ci-dessous. Un grand merci d'avance.

1) L’axiome d’existence de Lambda que j’ai ajouté vous semble-t-il nécessaire?
2) Que pensez-vous de l’appartenance de Lambda à l’ensemble construit au moyen de la définition contradictoire? Vous pose-t-elle un problème?
3) Que pensez-vous du fait qu’on ne puisse soustraire Lambda à un ensemble dans une différence symétrique? Cela vous pose-t-il un problème?
4) Que pensez-vous de la construction du Singleton de Lambda au moyen de l’axiome de l’ensemble des parties?
5) Que pensez-vous de l’étude du comportement de Lambda dans des opérations comme l’intersection, l’union…?

[invitecf3725df]

5) Que pensez-vous de l’étude du comportement de Lambda dans des opérations comme l’intersection, l’union…? Cela vous semble-t-il pertinent?

[invite8241b23e]

Salut !

Ce pdf est-il libre de droits ,